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[求助] 求四面體體積公式和點(diǎn)的法向量求解。已有2人參與

已知四面體四個(gè)點(diǎn)的空間三維坐標(biāo)，怎么求四面體的體積？

這樣求解過程對(duì)嗎？

空間中九宮格的點(diǎn)與原點(diǎn)構(gòu)成幾何體，九宮格的中心點(diǎn)是P0，
幾何的體積是可以算出來(lái)的：
比如為V0,
然后讓點(diǎn)P0的x1+dx （dx=0.00001很小很�。�
再重新算其體積比如為V1,
那么法向量在x的分量為
nx = (V1-V0)/dx
同樣計(jì)算在y,z的分量。
最后歸一一下就OK了。

（其數(shù)學(xué)原理為 dV =\frac 1 3 \mathbf r \mathbf n dS 可以證明體積元的變分為 \frac{\delta dV}{\delta mathbf r}=\mathbf n dS）
這個(gè)數(shù)學(xué)原理公式怎么寫？
這樣是不是可以求這個(gè)P0這個(gè)點(diǎn)處的法向量？

謝謝

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1樓 2014-11-06 15:41:32

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

你那個(gè)公式是怎么得出的？不過使用各表面法向可以得出體積。
利用恒等式 $\frac{1}{3}\nabla \cdot {\bf x} =1$ ，然后做體積分，使用 Stocks 定理我們有
$\int \; dV = \int \frac{1}{3}\nabla \cdot {\bf x} \; dV =\frac{1}{3} \oint {\bf x} \cdot d {\bf S} = \sum_{i=1}^{N} {\bf x}_i \cdot {\bf n }_i \Delta S_i$
這里 ${\bf n }_i$ 是第i面的法向， ${\bf x}_i$ 是第i面的中心點(diǎn)位置向量， $\Delta S_i$ 是第i面的面積。
此方法很實(shí)用。空間表面面積可利用頂點(diǎn)坐標(biāo)得出。

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2樓2014-11-06 17:07:31

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

對(duì)于樓主那個(gè)四面體的求解公式，我有疑惑：撇開1/6,這個(gè)公式是求由頂點(diǎn)引出的三條棱構(gòu)造的平行六面體的體積（解析幾何的知識(shí)）,這樣看，樓主覺得這個(gè)四面體的體積應(yīng)該跟這個(gè)平行六面體的體積之比是1/6啦？
我認(rèn)為這個(gè)有條件，就是三條棱互相垂直，也就是直角棱錐才能符合。

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3樓2014-11-06 20:29:33

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【答案】應(yīng)助回帖

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4樓2014-11-06 20:59:04

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【答案】應(yīng)助回帖

關(guān)于體積的公式，這里的答案供樓主參考：

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5樓2014-11-08 08:22:19

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$dV =\frac 1 3 \mathbf r \mathbf n dS[\latex] [latex] dV =\frac 1 3 \mathbf r \mathbf n dS$
$\frac{\delta dV}{\delta mathbf r}=\mathbf n dS[\latex] [latex] \frac{\delta dV}{\delta mathbf r}=\mathbf n dS$

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6樓2014-11-13 22:31:12

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引用回帖:

5樓: Originally posted by 終之太刀—曉 at 2014-11-08 08:22:19
關(guān)于體積的公式，這里的答案供樓主參考：

1.png

2.png
...

你這頂點(diǎn)在零點(diǎn)，
要是頂點(diǎn)是任意點(diǎn)（x4，y4，z4）的話，我那個(gè)行列式求體積公式是否正確？

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7樓2014-11-14 13:00:35

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引用回帖:

7樓: Originally posted by luzongxing at 2014-11-14 13:00:35
你這頂點(diǎn)在零點(diǎn)，
要是頂點(diǎn)是任意點(diǎn)（x4，y4，z4）的話，我那個(gè)行列式求體積公式是否正確？...

如我5樓的圖示，做個(gè)變數(shù)代換，比如將x_1換為x_1-x_4;y_2換為y_2-y_4等，這樣就可以直接套用那個(gè)公式。
就如我5樓所言，如果三條測(cè)棱不相互垂直，公式就有誤了。

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8樓2014-11-14 13:52:07

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引用回帖:

8樓: Originally posted by 終之太刀—曉 at 2014-11-14 13:52:07
如我5樓的圖示，做個(gè)變數(shù)代換，比如將x_1換為x_1-x_4;y_2換為y_2-y_4等，這樣就可以直接套用那個(gè)公式。
就如我5樓所言，如果三條測(cè)棱不相互垂直，公式就有誤了。...

我看查到的資料都是任意四面體都滿足那個(gè)體積公式，你也可以代入簡(jiǎn)單的四面體求解看看。

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9樓2014-11-15 20:26:18

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9樓: Originally posted by luzongxing at 2014-11-15 20:26:18
我看查到的資料都是任意四面體都滿足那個(gè)體積公式，你也可以代入簡(jiǎn)單的四面體求解看看。...

可以給我看看你查到的資料鏈接么，樓主？

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10樓2014-11-15 20:48:48

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