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wangyymm金蟲(chóng) (著名寫(xiě)手)
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[求助]
代數(shù)問(wèn)題
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各位大蝦,請(qǐng)教幾個(gè)代數(shù)問(wèn)題: 1.設(shè)G是一個(gè)階數(shù)為素?cái)?shù)p^n的交換群, n是一個(gè)大于5的正整數(shù),且對(duì)G中的任意元素x有x^p=1,求G的階數(shù)為 p^5的子群個(gè)數(shù). 2. 已知A與B都是環(huán)的擴(kuò)張且A是B的子集.如果這兩個(gè)環(huán)都可交換且有相同的單位元1.假設(shè)B是有限生成A-模,證明對(duì)B中的任何b,都存在一個(gè)以A中元素為系數(shù)的首一多項(xiàng)式f使得f(b)=0. 3.設(shè)G一個(gè)有限乘法交換群,如果存在一個(gè)映射 f使得 f從G乘G到C* (C*表示所有非零復(fù)數(shù)構(gòu)成的乘法群)滿足下列條件： （1）對(duì)G中的任意元素g,g_1,g_2, 都有f(g, g_1g_2)=f(g, g_1)f(g, g_1); （2）對(duì)G中的任意元素g,g_1,g_2, 都有f(g_1g_2, g)=f(g_1, g)f(g_1, g); （3）對(duì)G中的任意元素g, 都有f(g, g)=1; （4）對(duì)G中的元素g, 如果對(duì)G中的任意 h， 都有f(g, h)=1, 則g=1_G (1_G是G中的單位元). 證明 G的階是一個(gè)平方數(shù)。 謝謝�。�！ |
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wangyymm
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4樓2014-11-22 07:34:13
sskkyy
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2樓2014-11-21 19:17:00
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【答案】應(yīng)助回帖
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wangyymm(feixiaolin代發(fā)): 金幣+10 2014-11-24 07:38:11
wangyymm(feixiaolin代發(fā)): 金幣+10 2014-11-24 07:38:11
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忘了標(biāo)記了，這個(gè)是對(duì)1）的回答。Z/p上的n維線性空間的5維子空間的個(gè)數(shù)可以如下計(jì)算。先計(jì)算出（Z/p）^n中線性無(wú)關(guān)向量組(v1,v2,v3,v4,v5)（ordered）的個(gè)數(shù)為(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)...(p^n-p^4). 兩個(gè)不同的線性無(wú)關(guān)向量組表示同一個(gè)線性子空間，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)5階可逆矩陣把一組向量變換為另外一組向量。所以最終的結(jié)果應(yīng)該是(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)...(p^n-p^4)除以GL(5,Z/p)的階數(shù)，也就是是(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)...(p^n-p^4)/（p^5-1）(p^5-p)...(p^5-p^4). |
3樓2014-11-21 19:28:56
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5樓2014-11-22 18:06:12
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