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wangyymm

金蟲 (著名寫手)

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[求助] 代數(shù)問(wèn)題

各位大蝦,請(qǐng)教幾個(gè)代數(shù)問(wèn)題:
1.設(shè)G是一個(gè)階數(shù)為素?cái)?shù)p^n的交換群, n是一個(gè)大于5的正整數(shù),且對(duì)G中的任意元素x有x^p=1,求G的階數(shù)為 p^5的子群個(gè)數(shù).

2. 已知A與B都是環(huán)的擴(kuò)張且A是B的子集.如果這兩個(gè)環(huán)都可交換且有相同的單位元1.假設(shè)B是有限生成A-模,證明對(duì)B中的任何b,都存在一個(gè)以A中元素為系數(shù)的首一多項(xiàng)式f使得f(b)=0.

3.設(shè)G一個(gè)有限乘法交換群,如果存在一個(gè)映射 f使得  f從G乘G到C*  (C*表示所有非零復(fù)數(shù)構(gòu)成的乘法群)滿足下列條件：
（1）對(duì)G中的任意元素g,g_1,g_2, 都有f(g,  g_1g_2)=f(g, g_1)f(g, g_1);
（2）對(duì)G中的任意元素g,g_1,g_2, 都有f(g_1g_2, g)=f(g_1, g)f(g_1, g);
（3）對(duì)G中的任意元素g, 都有f(g, g)=1;
（4）對(duì)G中的元素g, 如果對(duì)G中的任意 h，都有f(g, h)=1, 則g=1_G  (1_G是G中的單位元).
證明 G的階是一個(gè)平方數(shù)。

謝謝�。�！

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1樓 2014-11-20 21:03:04

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【答案】應(yīng)助回帖

引用回帖:

4樓: Originally posted by wangyymm at 2014-11-22 07:34:13
大蝦,好像有個(gè)條件"任意元素x有x^p=1"沒(méi)有使用吧?!...

第一步就用了啊，有限生成交換群結(jié)構(gòu)定理得出G=(Z/p)^n.

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5樓2014-11-22 18:06:12

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wangyymm(feixiaolin代發(fā)): 金幣+10 2014-11-24 07:37:22

柿子要撿軟的捏，我來(lái)試試第三題。設(shè)|G|=n.

由于固定g, 由(1),(2)有 f(g,*): G--> C*, f(*,g): G-->C* 滿足群同態(tài)，所以是G的指標(biāo)。

由(3) f(g,g)=1 可知
$f(g,h)=f((gh^{-1})h,h)=f(gh^{-1},(gh^{-1})h)=f(h^{-1},g)$

由(4)可知，每一個(gè)行指標(biāo)f(g,*)都不一樣. 那么由于 f(g,h)=f(h^{-1},g)
知道若f(h,g)=1對(duì)任意h成立，那么 g=1_G. 即每一個(gè)列指標(biāo)f(*,g)也不一樣。

從而f(*,*) 構(gòu)成G的完備的指標(biāo)表，記為A。由于指標(biāo)是相互正交的，從而 $B=\frac{1}{\sqrt{n}}A$ 是n x n酉矩陣.

可是你這個(gè)酉矩陣非常特殊， f(g,h)=f(h^{-1},g)=[f(h,g)的共軛] 說(shuō)明這個(gè)矩陣還是Hermitian, 即 $B=B^H=B^{-1}$ 三位一體。順便說(shuō)一下，對(duì)角線上全是 $\frac{1}{/sqrt{n}}$

現(xiàn)在可以看出你的結(jié)果就是顯然的，因?yàn)锽的特征值只有正負(fù)1。設(shè)有k個(gè)1，(n-k)個(gè)-1，從而 $k\cdot 1 +(n-k)\cdot (-1)=Tr(B)=\frac{n}{\sqrt{n}}$ , 所以 n=(2k-n)^2是完全平方。即存在p, 使得 $n=p^2, k=\frac{p(p+1)}{2}$

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We_must_know. We_will_know.

6樓2014-11-23 09:59:45

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【答案】應(yīng)助回帖

感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1

根據(jù)有限生產(chǎn)交換群的結(jié)構(gòu)定理知道G為(Z/p)^n, n維線性空間. 階數(shù)為 p^5的子群對(duì)應(yīng)著5維線性子空間。那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)換為Z/p上的n維線性空間的5維子空間有多少個(gè)。

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2樓2014-11-21 19:17:00

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【答案】應(yīng)助回帖

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wangyymm(feixiaolin代發(fā)): 金幣+10 2014-11-24 07:38:11

引用回帖:

2樓: Originally posted by sskkyy at 2014-11-21 19:17:00
根據(jù)有限生產(chǎn)交換群的結(jié)構(gòu)定理知道G為(Z/p)^n, n維線性空間. 階數(shù)為 p^5的子群對(duì)應(yīng)著5維線性子空間。那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)換為Z/p上的n維線性空間的5維子空間有多少個(gè)。

忘了標(biāo)記了，這個(gè)是對(duì)1）的回答。Z/p上的n維線性空間的5維子空間的個(gè)數(shù)可以如下計(jì)算。先計(jì)算出（Z/p）^n中線性無(wú)關(guān)向量組(v1,v2,v3,v4,v5)（ordered）的個(gè)數(shù)為(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)...(p^n-p^4).
兩個(gè)不同的線性無(wú)關(guān)向量組表示同一個(gè)線性子空間，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)5階可逆矩陣把一組向量變換為另外一組向量。所以最終的結(jié)果應(yīng)該是(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)...(p^n-p^4)除以GL(5,Z/p)的階數(shù)，也就是是(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)...(p^n-p^4)/（p^5-1）(p^5-p)...(p^5-p^4).

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3樓2014-11-21 19:28:56

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引用回帖:

3樓: Originally posted by sskkyy at 2014-11-21 19:28:56
忘了標(biāo)記了，這個(gè)是對(duì)1）的回答。Z/p上的n維線性空間的5維子空間的個(gè)數(shù)可以如下計(jì)算。先計(jì)算出（Z/p）^n中線性無(wú)關(guān)向量組(v1,v2,v3,v4,v5)（ordered）的個(gè)數(shù)為(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)...(p^n-p^4).
兩個(gè)不同的線 ...

大蝦,好像有個(gè)條件"任意元素x有x^p=1"沒(méi)有使用吧?!

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4樓2014-11-22 07:34:13

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6樓: Originally posted by hank612 at 2014-11-23 09:59:45
柿子要撿軟的捏，我來(lái)試試第三題。設(shè)|G|=n.

由于固定g, 由(1),(2)有 f(g,*): G--> C*, f(*,g): G-->C* 滿足群同態(tài)，所以是G的指標(biāo)。

由(3) f(g,g)=1 可知
f(g,h)=f((gh^{-1})h,h)=f(gh^{-1},(gh^{ ...

7樓2014-11-23 20:59:28

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5樓: Originally posted by sskkyy at 2014-11-22 18:06:12
第一步就用了啊，有限生成交換群結(jié)構(gòu)定理得出G=(Z/p)^n.
...

8樓2014-11-23 20:59:40

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【答案】應(yīng)助回帖

第二題貌似陳述的全面，A，B為誰(shuí)的擴(kuò)張。感覺(jué)是Atiyah MacDonld交換代數(shù)書上一個(gè)定理。環(huán)擴(kuò)張那一塊。

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9樓2014-11-23 21:03:14

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9樓: Originally posted by sskkyy at 2014-11-23 21:03:14
第二題貌似陳述的全面，A，B為誰(shuí)的擴(kuò)張。感覺(jué)是Atiyah MacDonld交換代數(shù)書上一個(gè)定理。環(huán)擴(kuò)張那一塊。

應(yīng)該是某個(gè)環(huán)的擴(kuò)張.

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10樓2014-11-24 15:02:28

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