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wangyymm金蟲 (著名寫手)
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[求助]
代數(shù)問題
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各位大蝦,請教幾個代數(shù)問題: 1.設G是一個階數(shù)為素數(shù)p^n的交換群, n是一個大于5的正整數(shù),且對G中的任意元素x有x^p=1,求G的階數(shù)為 p^5的子群個數(shù). 2. 已知A與B都是環(huán)的擴張且A是B的子集.如果這兩個環(huán)都可交換且有相同的單位元1.假設B是有限生成A-模,證明對B中的任何b,都存在一個以A中元素為系數(shù)的首一多項式f使得f(b)=0. 3.設G一個有限乘法交換群,如果存在一個映射 f使得 f從G乘G到C* (C*表示所有非零復數(shù)構成的乘法群)滿足下列條件： （1）對G中的任意元素g,g_1,g_2, 都有f(g, g_1g_2)=f(g, g_1)f(g, g_1); （2）對G中的任意元素g,g_1,g_2, 都有f(g_1g_2, g)=f(g_1, g)f(g_1, g); （3）對G中的任意元素g, 都有f(g, g)=1; （4）對G中的元素g, 如果對G中的任意 h， 都有f(g, h)=1, 則g=1_G (1_G是G中的單位元). 證明 G的階是一個平方數(shù)。 謝謝�。�！ |
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sskkyy
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9樓2014-11-23 21:03:14
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2樓2014-11-21 19:17:00
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【答案】應助回帖
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wangyymm(feixiaolin代發(fā)): 金幣+10 2014-11-24 07:38:11
wangyymm(feixiaolin代發(fā)): 金幣+10 2014-11-24 07:38:11
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忘了標記了，這個是對1）的回答。Z/p上的n維線性空間的5維子空間的個數(shù)可以如下計算。先計算出（Z/p）^n中線性無關向量組(v1,v2,v3,v4,v5)（ordered）的個數(shù)為(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)...(p^n-p^4). 兩個不同的線性無關向量組表示同一個線性子空間，當且僅當存在一個5階可逆矩陣把一組向量變換為另外一組向量。所以最終的結果應該是(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)...(p^n-p^4)除以GL(5,Z/p)的階數(shù)，也就是是(p^n-1)(p^n-p)(p^n-p^2)...(p^n-p^4)/（p^5-1）(p^5-p)...(p^5-p^4). |
3樓2014-11-21 19:28:56
wangyymm
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4樓2014-11-22 07:34:13
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