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趙端陽新蟲 (正式寫手)
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[求助]
點電荷的周圍的真空到底滿足泊松方程求還是拉普拉斯方程 已有4人參與
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突然有個自己都覺得可笑的問題，但我就想不明白。 這學(xué)期學(xué)習(xí)學(xué)校開《電動力學(xué)》這門課，現(xiàn)在有個問題 假如，這是靜電情況，眾所周知，在一片真空區(qū)域內(nèi)沒有自由電荷，那么這片區(qū)域的電勢應(yīng)該滿足拉普拉斯方程，要是有一個點電荷，那么應(yīng)該滿足泊松方程，但是要是這個點電荷周圍呢？該點周圍是真空啊，那么它的周圍應(yīng)該是滿足拉普拉斯方程的，那么這個點電荷對周圍的影響如何在微分方程里體現(xiàn)呢？換句話說，在一個點電荷的周圍的真空到底滿足泊松方程求還是拉普拉斯方程？ 是不是只要這個空間中存在電荷，就一定要在方程里體現(xiàn)出來，是不是微分方程不可以點對點的求解？ 我現(xiàn)在好亂啊，誰能告訴我如何想這個問題，或看那些資料？ |
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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
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1,、如果你要研究的區(qū)域不包括點電荷的那個位置，那就用拉普拉斯方程。如果包括點電荷就用泊松方程。 2、實際上，兩個方程一個帶源（泊），另一個無源（拉），它們剛好體現(xiàn)了，靜電場產(chǎn)生的物理圖像。兩個方程的左端都是電勢對坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù)，電勢的一階導(dǎo)數(shù)是電場，那么兩個方程左端剛好是電場的散度。 3、電場是有源場，泊松方程體現(xiàn)了電場從點電荷從出來或進(jìn)去；而拉普拉斯方程則體現(xiàn)了電場從一個地方穿過另一個地方，當(dāng)此處無源無匯的時候，電場是不會間斷的。 |
2樓2014-12-25 21:30:45
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3樓2014-12-25 23:57:25
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【答案】應(yīng)助回帖
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
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我覺得上面的回答有點誤導(dǎo)。滿足Poisson方程不意味著要解Poisson方程。事實上，只有在已知空間分布電荷的情況下，才有可能去求解Poisson方程。但這種情況在實用中幾乎遇不到。如果你有點電荷，也不可能真去數(shù)值解Poisson方程，因為那是奇點。所以，實際遇到的情況幾乎都是解Laplacian 方程。如果你只是有一系列的點電荷空間分布，那你的電勢是有解析表達(dá)式的，也不需要解任何方程。但是，如果周圍還有導(dǎo)體，就需要解方程了。這時假定 phi=phi0+phi1, phi0 是點電荷的電勢，解析表達(dá)；phi1滿足laplacian方程，邊界條件是在導(dǎo)體邊界上 phi=phi0+phi1為常數(shù)。不過，最好有具體列子，泛泛的不好談，容易不準(zhǔn)確。 總之，結(jié)論就是，靜電場基本上是解Laplacian方程 (在學(xué)校的電磁學(xué)課程情況)。我做電磁場數(shù)值解有30余年，只在做等離子體物理 Langmuir waves + particle simulation 時遇到過已知空間電荷分布求解電勢的問題。 |
4樓2014-12-26 05:28:02
sciencejoy
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5樓2014-12-26 09:31:39
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6樓2014-12-26 21:17:08
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