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趙端陽(yáng)新蟲 (正式寫手)
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[求助]
點(diǎn)電荷的周圍的真空到底滿足泊松方程求還是拉普拉斯方程 已有4人參與
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突然有個(gè)自己都覺(jué)得可笑的問(wèn)題，但我就想不明白。 這學(xué)期學(xué)習(xí)學(xué)校開(kāi)《電動(dòng)力學(xué)》這門課，現(xiàn)在有個(gè)問(wèn)題 假如，這是靜電情況，眾所周知，在一片真空區(qū)域內(nèi)沒(méi)有自由電荷，那么這片區(qū)域的電勢(shì)應(yīng)該滿足拉普拉斯方程，要是有一個(gè)點(diǎn)電荷，那么應(yīng)該滿足泊松方程，但是要是這個(gè)點(diǎn)電荷周圍呢？該點(diǎn)周圍是真空啊，那么它的周圍應(yīng)該是滿足拉普拉斯方程的，那么這個(gè)點(diǎn)電荷對(duì)周圍的影響如何在微分方程里體現(xiàn)呢？換句話說(shuō)，在一個(gè)點(diǎn)電荷的周圍的真空到底滿足泊松方程求還是拉普拉斯方程？ 是不是只要這個(gè)空間中存在電荷，就一定要在方程里體現(xiàn)出來(lái)，是不是微分方程不可以點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的求解？ 我現(xiàn)在好亂啊，誰(shuí)能告訴我如何想這個(gè)問(wèn)題，或看那些資料？ |
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1,、如果你要研究的區(qū)域不包括點(diǎn)電荷的那個(gè)位置，那就用拉普拉斯方程。如果包括點(diǎn)電荷就用泊松方程。 2、實(shí)際上，兩個(gè)方程一個(gè)帶源（泊），另一個(gè)無(wú)源（拉），它們剛好體現(xiàn)了，靜電場(chǎng)產(chǎn)生的物理圖像。兩個(gè)方程的左端都是電勢(shì)對(duì)坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù)，電勢(shì)的一階導(dǎo)數(shù)是電場(chǎng)，那么兩個(gè)方程左端剛好是電場(chǎng)的散度。 3、電場(chǎng)是有源場(chǎng)，泊松方程體現(xiàn)了電場(chǎng)從點(diǎn)電荷從出來(lái)或進(jìn)去；而拉普拉斯方程則體現(xiàn)了電場(chǎng)從一個(gè)地方穿過(guò)另一個(gè)地方，當(dāng)此處無(wú)源無(wú)匯的時(shí)候，電場(chǎng)是不會(huì)間斷的。 |
2樓2014-12-25 21:30:45
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3樓2014-12-25 23:57:25
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我覺(jué)得上面的回答有點(diǎn)誤導(dǎo)。滿足Poisson方程不意味著要解Poisson方程。事實(shí)上，只有在已知空間分布電荷的情況下，才有可能去求解Poisson方程。但這種情況在實(shí)用中幾乎遇不到。如果你有點(diǎn)電荷，也不可能真去數(shù)值解Poisson方程，因?yàn)槟鞘瞧纥c(diǎn)。所以，實(shí)際遇到的情況幾乎都是解Laplacian 方程。如果你只是有一系列的點(diǎn)電荷空間分布，那你的電勢(shì)是有解析表達(dá)式的，也不需要解任何方程。但是，如果周圍還有導(dǎo)體，就需要解方程了。這時(shí)假定 phi=phi0+phi1, phi0 是點(diǎn)電荷的電勢(shì)，解析表達(dá)；phi1滿足laplacian方程，邊界條件是在導(dǎo)體邊界上 phi=phi0+phi1為常數(shù)。不過(guò)，最好有具體列子，泛泛的不好談，容易不準(zhǔn)確。 總之，結(jié)論就是，靜電場(chǎng)基本上是解Laplacian方程 (在學(xué)校的電磁學(xué)課程情況)。我做電磁場(chǎng)數(shù)值解有30余年，只在做等離子體物理 Langmuir waves + particle simulation 時(shí)遇到過(guò)已知空間電荷分布求解電勢(shì)的問(wèn)題。 |
4樓2014-12-26 05:28:02
sciencejoy
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5樓2014-12-26 09:31:39
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6樓2014-12-26 21:17:08
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