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fangdian木蟲 (正式寫手)
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[求助]
空間平面截已知六面體求截面 已有1人參與
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各位大俠： 請教一個問題：一個空間平面截一個已知的平行六面體（限定為長方體也行），能得到兩半的體積。假設該空間平面的法向量已知{a,b,c}，六面體的6個面的法向量以及六面體的8個頂點坐標已知，并且得到的兩半體積的體積比也是已知的，如何較快速的求出該平面截這個六面體得到的截面積大小？謝謝 ps：我是學工科的，這個問題的方法會在我編程的時候用到，所以希望回答使得我具有可操作性，謝謝哈 |
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【答案】應助回帖
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感謝參與，應助指數(shù) +1
fangdian: 金幣+20, ★有幫助, 謝謝參與，我認真學習了 2015-01-27 08:55:11
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fangdian: 金幣+20, ★有幫助, 謝謝參與，我認真學習了 2015-01-27 08:55:11
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我給個思路，不一定對，沒來得及細想，如有不對請版上大神補充。 首先，這個問題的答案可能不唯一，可能有三個答案（理由見下面的分析）； 其次，“體積比”這個條件可能是多余的，不需要這個條件似乎也能解（理由同樣見下）； 解釋一下我的思路：方法是體積法， 第一步，因為頂點坐標全都知道，所以很容易用空間解析幾何的向量混合積算出平行六面體的體積，記為V. 第二步，利用高中的技巧，將該平行六面體沿截面切開，重新拼接成一個平行六面體，顯然體積不會變化。設截面面積為S，新的平行六面體的高為h，則S=V/h，可見關鍵在于求出h. 第三步，求h. 這個h應該是原平行六面體的棱在截平面的法方向的投影長度，由于平行六面體的棱的長度有三個，所以投影長度也應該有三種可能性，從而截面積有三種答案。 第四步，求投影長度很容易，向量的內積而已。每條棱都是兩個頂點決定的一個向量，它在法方向的投影長度用內積很容易計算。 我能想到的就這么多，不知道是不是有遺漏或者錯誤。從這個方案來看不需要用到體積比。其實你想象一下用平行平面去截一個長方體，雖然截出來的體積比不一樣，但顯然截面面積都是一樣的，所以體積比應該不構成問題答案的參數(shù)。 |
2樓2015-01-26 01:59:26
fangdian
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3樓2015-01-26 19:48:26
fangdian
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4樓2015-01-26 22:27:00
fangdian
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5樓2015-01-27 09:31:22
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目前我能想到的一個可能的思路： 1 通過已知的空間平面的法向量{a,b,c}，表示出該平面方程(E為常數(shù))： ax+by+cz=E （1） 2 將六面體的8個坐標代入該方程，得出最大的Emax和最小的Emin值，并記錄對應的頂點坐標值，頂點分別記為 A(xmin,ymin,zmin),B(xmax,ymax,zmax) 3 設置循環(huán)程序，采用二分法在AB點循環(huán)（如第一步求出A和B的中點，帶入方程1，得到相應的E1），于是得到相應的平面方程。 4 求平面方程和六面體的各個棱的交點，得到形成截面的多邊形的各個頂點坐標，記為(xi,yi),利用多邊形面積公式，求出該多邊形的面積： Si=∑（xi*yi+1-xi+1*yi） 同時利用凸多面體的體積公式，求出該多面體的體積： Vi=1/6*∑d(A0,A1,A2,......An) 其中，A0,A1,A2,......An為多面體的各個頂點坐標，d(A0,A1,A2,......An)表示由各個頂點坐標組成的行列式。 5 如果該多面體的體積和該平行六面體的體積（同樣可以采用多面體體積公式求出）比等于題目設定的體積比（適當換算一下），停止二分法的循環(huán)，輸出該多邊形的面積，否則，繼續(xù)循環(huán)，直到找到相應的E為止。 以上是一個思路。 但是上述思路中，有幾個問題： （1）只是知道六面體的各個頂點的坐標的話，怎么知道哪兩點組成一條棱？（如果是長方體的話，能否按照某個坐標軸值相等作為組成棱的條件？？） （2）即使知道了通過解方程得到的多邊形的各個頂點的話，怎么知道各個頂點在順序？其實也是哪兩個點組成邊的問題，同樣的問題還存在于求多面體的體積的時候。不知道上述多邊形公式以及多面體體積公式中的坐標點是否有順序？ 當然，總的感覺，這個思路存在很多問題，要是能有可以實現(xiàn)的方法就好了，謝謝大家 |
6樓2015-01-27 10:21:52
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