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fangdian木蟲 (正式寫手)
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[求助]
空間平面截已知六面體求截面 已有1人參與
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各位大俠： 請(qǐng)教一個(gè)問(wèn)題：一個(gè)空間平面截一個(gè)已知的平行六面體（限定為長(zhǎng)方體也行），能得到兩半的體積。假設(shè)該空間平面的法向量已知{a,b,c}，六面體的6個(gè)面的法向量以及六面體的8個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)已知，并且得到的兩半體積的體積比也是已知的，如何較快速的求出該平面截這個(gè)六面體得到的截面積大��？謝謝 ps：我是學(xué)工科的，這個(gè)問(wèn)題的方法會(huì)在我編程的時(shí)候用到，所以希望回答使得我具有可操作性，謝謝哈 |
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【答案】應(yīng)助回帖
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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
fangdian: 金幣+20, ★有幫助, 謝謝參與，我認(rèn)真學(xué)習(xí)了 2015-01-27 08:55:11
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我給個(gè)思路，不一定對(duì)，沒(méi)來(lái)得及細(xì)想，如有不對(duì)請(qǐng)版上大神補(bǔ)充。 首先，這個(gè)問(wèn)題的答案可能不唯一，可能有三個(gè)答案（理由見下面的分析）； 其次，“體積比”這個(gè)條件可能是多余的，不需要這個(gè)條件似乎也能解（理由同樣見下）； 解釋一下我的思路：方法是體積法， 第一步，因?yàn)轫旤c(diǎn)坐標(biāo)全都知道，所以很容易用空間解析幾何的向量混合積算出平行六面體的體積，記為V. 第二步，利用高中的技巧，將該平行六面體沿截面切開，重新拼接成一個(gè)平行六面體，顯然體積不會(huì)變化。設(shè)截面面積為S，新的平行六面體的高為h，則S=V/h，可見關(guān)鍵在于求出h. 第三步，求h. 這個(gè)h應(yīng)該是原平行六面體的棱在截平面的法方向的投影長(zhǎng)度，由于平行六面體的棱的長(zhǎng)度有三個(gè)，所以投影長(zhǎng)度也應(yīng)該有三種可能性，從而截面積有三種答案。 第四步，求投影長(zhǎng)度很容易，向量的內(nèi)積而已。每條棱都是兩個(gè)頂點(diǎn)決定的一個(gè)向量，它在法方向的投影長(zhǎng)度用內(nèi)積很容易計(jì)算。 我能想到的就這么多，不知道是不是有遺漏或者錯(cuò)誤。從這個(gè)方案來(lái)看不需要用到體積比。其實(shí)你想象一下用平行平面去截一個(gè)長(zhǎng)方體，雖然截出來(lái)的體積比不一樣，但顯然截面面積都是一樣的，所以體積比應(yīng)該不構(gòu)成問(wèn)題答案的參數(shù)。 |
2樓2015-01-26 01:59:26
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3樓2015-01-26 19:48:26
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4樓2015-01-26 22:27:00
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5樓2015-01-27 09:31:22
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目前我能想到的一個(gè)可能的思路： 1 通過(guò)已知的空間平面的法向量{a,b,c}，表示出該平面方程(E為常數(shù))： ax+by+cz=E （1） 2 將六面體的8個(gè)坐標(biāo)代入該方程，得出最大的Emax和最小的Emin值，并記錄對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)坐標(biāo)值，頂點(diǎn)分別記為 A(xmin,ymin,zmin),B(xmax,ymax,zmax) 3 設(shè)置循環(huán)程序，采用二分法在AB點(diǎn)循環(huán)（如第一步求出A和B的中點(diǎn)，帶入方程1，得到相應(yīng)的E1），于是得到相應(yīng)的平面方程。 4 求平面方程和六面體的各個(gè)棱的交點(diǎn)，得到形成截面的多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，記為(xi,yi),利用多邊形面積公式，求出該多邊形的面積： Si=∑（xi*yi+1-xi+1*yi） 同時(shí)利用凸多面體的體積公式，求出該多面體的體積： Vi=1/6*∑d(A0,A1,A2,......An) 其中，A0,A1,A2,......An為多面體的各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，d(A0,A1,A2,......An)表示由各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)組成的行列式。 5 如果該多面體的體積和該平行六面體的體積（同樣可以采用多面體體積公式求出）比等于題目設(shè)定的體積比（適當(dāng)換算一下），停止二分法的循環(huán)，輸出該多邊形的面積，否則，繼續(xù)循環(huán)，直到找到相應(yīng)的E為止。 以上是一個(gè)思路。 但是上述思路中，有幾個(gè)問(wèn)題： （1）只是知道六面體的各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的話，怎么知道哪兩點(diǎn)組成一條棱？（如果是長(zhǎng)方體的話，能否按照某個(gè)坐標(biāo)軸值相等作為組成棱的條件？？） （2）即使知道了通過(guò)解方程得到的多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)的話，怎么知道各個(gè)頂點(diǎn)在順序？其實(shí)也是哪兩個(gè)點(diǎn)組成邊的問(wèn)題，同樣的問(wèn)題還存在于求多面體的體積的時(shí)候。不知道上述多邊形公式以及多面體體積公式中的坐標(biāo)點(diǎn)是否有順序？ 當(dāng)然，總的感覺(jué)，這個(gè)思路存在很多問(wèn)題，要是能有可以實(shí)現(xiàn)的方法就好了，謝謝大家 |
6樓2015-01-27 10:21:52
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7樓2015-01-27 17:22:06
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8樓2015-01-27 17:29:21
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9樓2015-03-08 18:04:55
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