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1樓 2015-02-05 15:42:19

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哎喲喂喲

金蟲 (正式寫手)

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子非魚，焉知魚之樂

2樓2015-02-05 15:53:12

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晨曦2013

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lishouyin

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晨曦2013: 金幣+10, ★★★★★最佳答案 2015-02-11 14:01:33

直接說什么問題吧

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4樓2015-02-05 17:33:07

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晨曦2013

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6樓2015-02-05 17:45:23

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hank612

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晨曦2013(feixiaolin代發(fā)): 金幣+40 2015-02-06 09:21:35

引用回帖:

5樓: Originally posted by 晨曦2013 at 2015-02-05 17:44:52
1.證明15階子群至多含有一個(gè)正規(guī)子群。
2.設(shè)G是n=st階循環(huán)群，且（s,t）=1,證明群G可以表示成s階和t階子群的外直積。
3.設(shè)G是有限交換群，H和K是G的兩個(gè)階數(shù)分別為s,t的自取，若H交K={0}，則H+K是G的st階子群。
...

1.
15階子群一定是循環(huán)群 $\mathbb{Z}_15.$ , 樓主結(jié)論不對(duì).
http://www.cnblogs.com/xixifeng/p/3875533.html
如果|G|=15, 那么由Sylow第三定理, Sylow_3, Sylow_5子群的個(gè)數(shù)都只能為1, 因此Sylow_3子群H, Sylow_5子群K都是正規(guī)子群. 那么, 由于G/H, G/K都是交換群, 所以換位子群G'既包含于H,也包含于K, 所以G'=1, 即G是交換群. 而pq階(p,q不同素?cái)?shù))的交換群都是循環(huán)的.

2.
設(shè)G=<a> 是n=st階循環(huán)群，且（s,t）=1,那么存在整數(shù)m,n使得ms+nt=1. 于是對(duì)G中的任意元素a^k, 有表達(dá)式 $a^k=(a^t)^{kn}\cdot (a^s)^{km} \in <a^t> x <a^s>$ , 所以群G可以表示成s階和t階子群的外直積。

3.
G是交換群, 所以一切子群都是正規(guī)子群. 由同態(tài)第X定理, $(HK)/H\equiv K/(H\cap K)$ , 因此HK的階為st.

4.
環(huán)根據(jù)定義驗(yàn)證.單位元為n階恒同矩陣. 單位群由行列式非零的上三角矩陣組成,( 就是可逆上三角矩陣?yán)?

5.
設(shè)x=a+bi+cj+dk在四元數(shù)環(huán)的中心內(nèi), 由xi=ix推出: c=0, d=0. 由xj=jx推出b=0, d=0. 因此x=a為實(shí)數(shù). 即 $Z[\mathbb{H}]=\mathbb{R}$ .

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7樓2015-02-06 02:59:31

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晨曦2013

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8樓2015-02-06 15:34:23

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9樓2015-02-06 17:59:33

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hank612

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引用回帖:

9樓: Originally posted by 晨曦2013 at 2015-02-06 17:59:33
請(qǐng)問第三題，換成3個(gè)子群，則H1，H2，H3是G的S1，S2，S3階子群，Hi交（Hj+Hk）={0}，則H1+H2+H3是S1S2S3階子群

是的. 注意前提是Hi都是正規(guī)子群.

由H1交(H2+H3)=0 知道 H1*(H2+H3)階為|H1|*|H2+H3|.
由H2交(H1+H3)=0 知道 H2交H3=0, 即|H2+H3|=|H2|*|H3|.
所以,你的命題成立.

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10樓2015-02-07 07:00:10

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