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Stuartwx銅蟲 (初入文壇)
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[交流]
冪級數(shù)收斂半徑的問題 已有3人參與
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已知冪級數(shù)f(x)的收斂半徑為R，a為（-R,R）中一點，g(x)是f(x)在a點的冪級數(shù)展開，那么冪級數(shù)g(x)的收斂半徑是多少，g(x)和f(x)有什么樣的關(guān)系？ |
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pippi6
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feixiaolin: 金幣+2 2015-03-01 22:57:57
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我給一個思路，不一定對。請熟悉復(fù)變函數(shù)解析展開的朋友指正。 應(yīng)該在復(fù)平面上討論此問題。如果f(z)在0附近解析，收斂半徑為R，那么在|z|=R 圓周上應(yīng)有至少一個奇點。我們限于討論|z|=R 圓周上只有一個奇點的情形，奇點記為s。假定a是圓盤|z|<R內(nèi)的任何一點，那么如果 r=|s-a| < R，那么g(z) ，f(z) 在a附近的Taylor展開，的收斂半徑就應(yīng)該是 |s-a|。 如果 r=|s-a| > R, 那么就應(yīng)該看在|z-a|< r內(nèi) 是否有其他奇點存在，如果有，比如s2，則收斂半徑為 r=|s2-a| 。所以，g(z)收斂半徑要看是f(z) 否有其他奇點。 |
3樓2015-03-01 21:20:42
Stuartwx
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2樓2015-03-01 17:06:59
junefi
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3L解答比較完整，但在實單變量power series中會更簡單。 復(fù)變函數(shù)中收斂半徑可以理解為展開點到最近的奇異點的距離，在實變量中是相同的。 有一個定理是說：題中的g(x)在|x-a|<R-|a|中必然收斂，但要是指出確定的收斂半徑，同3L而言，要看實際的函數(shù)，因為收斂域可能要比|x-a|<R-|a|確定的區(qū)間更大。 如果用3L的角度來說，|z-a|<R-|a|這個區(qū)域沒超出圓|z|<R，沒超出這個圓我們百分百確定沒有奇異點。但超出了是否可以呢？這就要看最近的奇異點在哪里（肯定不在圓里）。 在收斂的區(qū)域內(nèi)，f(x)=g(x)。或者保守地說，在|x-a|<R-|a|內(nèi)，f(x)=g(x)。 |
4樓2015-03-01 22:20:05
Stuartwx
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5樓2015-03-02 18:03:55
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