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etreeasky

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[交流] [探討] 相互正交的exp(ipr)函數(shù)的總個(gè)數(shù)為阿列夫2

【注：首先聲明上述語言表達(dá)是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)�，筆者本來的意思是想探討‘在Hilbert空間定義下，以正交exp(ipr)函數(shù)為基底的系統(tǒng)的維度為阿列夫2’，但是遺憾的是Hilbert空間對問題所涉及的δ函數(shù)等廣義函數(shù)的內(nèi)積無定義、對exp(ipr)函數(shù)的內(nèi)積也無定義。所以只能無奈不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)上述命題。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)可能只能等到某位數(shù)學(xué)大師擴(kuò)展到‘廣義Hilbert空間’以后吧�！�

下面讓我們一步一步粗略探討，相互正交exp(ipr)函數(shù)最多會(huì)有多少個(gè)？

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1樓 2015-03-31 15:58:49

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【注：上面這個(gè)證明對于Hilbert內(nèi)積空間而言是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模驗(yàn)閑xp(ipx)不是平方可積函數(shù)、不存在于Hilbert內(nèi)積空間。但是基于下面兩個(gè)事實(shí)，判定變量x連續(xù)不同取值的exp(ipx)函數(shù)兩兩正交并無不妥：

第一、exp(ipx) 是某類線性系統(tǒng)的基底

[定律：exp(ipx) 是所有線性時(shí)不變系統(tǒng)的共同本征函數(shù)系 ]

[證明：

設(shè)L是任意線性時(shí)不變系統(tǒng)，v是輸入，w是輸出

即 w=Lv

　　則 w(x)=h(x)*v(x) ，即w可以表達(dá)成h和v的卷積

　　上式傅里葉變換記為:

　　W(s)=H(s)V(s)

　　如果輸入exp(ipx) [注：為方便表述，exp(ipx) 省略了常數(shù)項(xiàng)2π ]

即 v（x）= exp(ipx)

　　因?yàn)閑xp(ipx)的傅里葉變換等于脈沖函數(shù)δ(x-p)

　　則輸出：W(s)=H(s)δ(s-p)=H(x)δ(x-p) [注：此處H(x)是個(gè)常數(shù)]

　　再通過傅里葉反變換，把上式從頻域返回到時(shí)域，得到：

　　w(x)=H(x) exp(ipx)

　　此處H(x)是個(gè)常數(shù)，記為c，則：

　　w(x)= c exp(ipx)

　　即：輸入exp(ipx) ，通過L線性時(shí)不變系統(tǒng)w=Lv，輸出得到 c exp(ipx)

　　即：L exp(ipx) = c exp(ipx) [注： L作用在exp(ipx) 等于常數(shù)乘以exp(ipx) ]

　　即： exp(ipx) 是任意線性時(shí)不變系統(tǒng)L的本征函數(shù)

　　證畢。]

第二、exp(ipx) 滿足狄拉克正交性質(zhì)

】

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5樓2015-03-31 16:21:43

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（1）當(dāng)exp(ipr)函數(shù)的變量整數(shù)取值時(shí)，相互正交exp(ipr)函數(shù)的個(gè)數(shù)為阿列夫0
【證明一：

取xm和xn ，其中m、n為整數(shù)

則：∫exp(ip)^xn exp(-ip)^xm dp

相當(dāng)于計(jì)算兩個(gè)exp(ipx）的乘積

又由于exp(ipx）可以轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)：

所以exp(ipx)的正交性，對應(yīng)于三角函數(shù)的正交關(guān)系

即：m不等于n時(shí)的exp(ip xm)和exp(ip xn)兩兩內(nèi)積為0

所以，兩兩不同的exp(ip)^xn 和exp(ip)^xm正交

又因?yàn)椋?整數(shù)變量xn與函數(shù)exp(ip)^xn 對應(yīng)，所以不同整數(shù)取值的exp(ip)^xn函數(shù)個(gè)數(shù)為阿列夫0

即，不同整數(shù)取值的兩兩正交的exp(ip)^xn 函數(shù)個(gè)數(shù)為阿列夫0 】

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2樓2015-03-31 16:10:32

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【證明二：

因?yàn)?br />

根據(jù)歐拉公式：

可知，整數(shù)不同取值的 k、m的exp(ikt)函數(shù) 和exp(imt）函數(shù)兩兩正交

又因?yàn)椋?整數(shù)變量k與函數(shù)exp(ikt)對應(yīng)，所以不同整數(shù)取值的exp(ikt)函數(shù)個(gè)數(shù)為阿列夫0

即，不同整數(shù)取值的兩兩正交的exp(ikt) 函數(shù)個(gè)數(shù)為阿列夫0 】

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3樓2015-03-31 16:17:33

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（2）當(dāng)exp(ipr)函數(shù)的變量實(shí)數(shù)連續(xù)取值時(shí)，相互正交exp(ipr)函數(shù)的個(gè)數(shù)為阿列夫1

【證明如下：

可知，連續(xù)不同取值的x的exp(ipx)函數(shù)兩兩正交】

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4樓2015-03-31 16:19:37

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