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[探討] 相互正交的exp(ipr)函數(shù)的總個(gè)數(shù)為阿列夫2
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【注：首先聲明上述語言表達(dá)是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)�，筆者本來的意思是想探討‘在Hilbert空間定義下，以正交exp(ipr)函數(shù)為基底的系統(tǒng)的維度為阿列夫2’，但是遺憾的是Hilbert空間對問題所涉及的δ函數(shù)等廣義函數(shù)的內(nèi)積無定義、對exp(ipr)函數(shù)的內(nèi)積也無定義。所以只能無奈不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)上述命題。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)可能只能等到某位數(shù)學(xué)大師擴(kuò)展到‘廣義Hilbert空間’以后吧�！� 下面讓我們一步一步粗略探討，相互正交exp(ipr)函數(shù)最多會有多少個(gè)？ |
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6樓2015-03-31 16:26:16
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（1）當(dāng)exp(ipr)函數(shù)的變量整數(shù)取值時(shí)，相互正交exp(ipr)函數(shù)的個(gè)數(shù)為阿列夫0 【 證明一： 取xm和xn ，其中m、n為整數(shù) 則：∫exp(ip)^xn exp(-ip)^xm dp 相當(dāng)于計(jì)算兩個(gè)exp(ipx）的乘積 又由于exp(ipx）可以轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)：  所以exp(ipx)的正交性，對應(yīng)于三角函數(shù)的正交關(guān)系  即：m不等于n時(shí)的exp(ip xm)和exp(ip xn)兩兩內(nèi)積為0 所以，兩兩不同的exp(ip)^xn 和exp(ip)^xm正交 又因?yàn)椋?整數(shù)變量xn與函數(shù)exp(ip)^xn 對應(yīng)，所以不同整數(shù)取值的exp(ip)^xn函數(shù)個(gè)數(shù)為阿列夫0 即，不同整數(shù)取值的兩兩正交的exp(ip)^xn 函數(shù)個(gè)數(shù)為阿列夫0 】 |
2樓2015-03-31 16:10:32
3樓2015-03-31 16:17:33
4樓2015-03-31 16:19:37
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