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luyw

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[求助] 如何計(jì)算這個(gè)積分？已有1人參與

式中Hm()為m階Hermite多項(xiàng)式，Hn()為n階Hermite多項(xiàng)式。

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1樓 2015-05-15 16:43:56

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racoon01

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【答案】應(yīng)助回帖

feixiaolin: 數(shù)學(xué)EPI+1, 數(shù)理不分家。 2015-05-16 22:05:06

引用回帖:

2樓: Originally posted by racoon01 at 2015-05-15 17:14:27
心好誠(chéng)啊，金幣全都拿出來(lái)了？

計(jì)算這個(gè)積分的高效方法是使用Hermite多項(xiàng)式的母函數(shù)公式，請(qǐng)自行試試。

感謝版主鼓勵(lì)！

厄米多項(xiàng)式的積分1.png

厄米多項(xiàng)式的積分2.png

厄米多項(xiàng)式的積分3.png

厄米多項(xiàng)式的積分4.png

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luyw

racoon

5樓2015-05-16 21:24:47

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racoon01

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
feixiaolin: 金幣+2 2015-05-16 18:20:46

心好誠(chéng)啊，金幣全都拿出來(lái)了？

計(jì)算這個(gè)積分的高效方法是使用Hermite多項(xiàng)式的母函數(shù)公式，請(qǐng)自行試試。

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racoon

2樓2015-05-15 17:14:27

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hank612

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★ ★ ★ ★ ★ ★
feixiaolin: 金幣+6 2015-05-16 18:20:32

引用回帖:

根據(jù)Racoon01大牛指引的方向,我們可以這樣試一下.
由于 $\exp(2xt-t^2)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{H_n(x)t^n}{n!}$ , 所以
$\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^m z^n}{m!n!}\int_{-\infty}^{\infty}H_m(x)H_n(ax)\exp(-\frac{(1+a^2)x^2}{2})dx$
等于 $\int_{-\infty}^{\infty}\exp(2xt-t^2+2axz-z^2-\frac{(1+a^2)x^2}{2})dx$

由于 $\int_{-\infty}^{\infty}e^{2ax-x^2}dx=\sqrt{\pi}e^{a^2}$ , 于是上式等于
$\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{1+a^2}}\exp(\frac{2(t+az)^2}{1+a^2}-t^2-z^2)=\sqrt{\frac{2\pi}{1+a^2}}\exp(\frac{1-a^2}{1+a^2}(t^2-z^2)+\frac{4a}{1+a^2}tz)$

其中 $\frac{t^m z^n}{m!n!}$ 的系數(shù)當(dāng)n-m是奇數(shù)時(shí), 答案明顯是0. 當(dāng)n-m是偶數(shù)時(shí),
比如m<=n時(shí), 系數(shù)為 $\sqrt{\frac{2\pi}{1+a^2}}\sum_{j=0}^{[m/2]}\frac{(4a)^{m-2j}(1-a^2)^j(-1+a^2)^{\frac{n-m}{2}+j}n!m!}{(1+a^2)^{\frac{n+m}{2}}j!(m-2j)!(\frac{n-m}{2}+j)!}$ , 貌似雜亂無(wú)章, 束手無(wú)策了

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We_must_know. We_will_know.

3樓2015-05-16 07:47:55

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【答案】應(yīng)助回帖

引用回帖:

3樓: Originally posted by hank612 at 2015-05-16 07:47:55
根據(jù)Racoon01大牛指引的方向,我們可以這樣試一下.
由于\exp(2xt-t^2)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{H_n(x)t^n}{n!}, 所以
\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^m z^n}{m!n!}\int_{-\infty}^{\infty}H_m( ...

此racoon非彼Ox，不可同日而語(yǔ)額。

hank612是真正的Ox, 上面的計(jì)算幾乎接近完美了，只是最后一步出了偏差，可惜。

等有空時(shí)，若是這個(gè)積分還保持現(xiàn)狀，某愿與hank612交流一下。多謝。

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racoon

4樓2015-05-16 18:07:03

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