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chenghehe321

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[求助] 圓內(nèi)隨機(jī)點(diǎn)到圓外一點(diǎn)的距離的概率分布

在xOy平面直角坐標(biāo)系中，在x軸上存在一點(diǎn) $H(h,0)$ ，圓O以原點(diǎn)為圓心，半徑為R，且 $0<R <= h$ 。令圓內(nèi)任意一點(diǎn)為 $P(X_0,Y_0)$ ，那么點(diǎn)H到點(diǎn)P的距離的概率分布是多少？
我自己的結(jié)果是錯(cuò)誤的，但是找不到哪里的推導(dǎo)出問題了，推導(dǎo)如下：
令距離

則有分布函數(shù)和相應(yīng)的概率密度函數(shù)為：

圓內(nèi)隨機(jī)點(diǎn)到圓外一點(diǎn)的距離的概率分布-1

其中z的值域?yàn)閇h-R,h+R]，這個(gè)概率密度函數(shù)在z的值域的積分為

圓內(nèi)隨機(jī)點(diǎn)到圓外一點(diǎn)的距離的概率分布-2

，并不為1，所以肯定是有問題的。
而且再舉一個(gè)例子，當(dāng)R=1，h=3的時(shí)候，z的值域?yàn)閇2,4]，但是z的概率密度函數(shù)的期望則為

圓內(nèi)隨機(jī)點(diǎn)到圓外一點(diǎn)的距離的概率分布-3

把h和R的數(shù)值帶進(jìn)去，期望為112/3，約為37，這明顯是不可能的，我這推導(dǎo)到底是哪出問題了�。�
請(qǐng)各位多多指教，感謝！

[ Last edited by feixiaolin on 2015-5-26 at 05:51 ]

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1樓 2015-05-26 01:41:22

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積分看起來很難積的樣子，我們用幾何中的弓形面積吧。

設(shè)兩圓半徑分別為R,r, 圓心距為h, 那么兩圓相交得到的面積為
$R^2(\alpha-\frac{1}{2}\sin{2\alpha})+r^2(\beta-\frac{1}{2}\sin{2\beta})$

其中， r的變化范圍是[h-R, h+R], $\cos{\alpha}=\frac{R^2+h^2-r^2}{2Rh}$ 弧度介于0和 $\pi$ ， $\cos{\beta}=\frac{r^2+h^2-R^2}{2rh}$ 弧度大于0但不超過 $\frac{\pi}{2}$

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2樓2015-05-26 08:21:48

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引用回帖:

2樓: Originally posted by hank612 at 2015-05-26 08:21:48
積分看起來很難積的樣子，我們用幾何中的弓形面積吧。

設(shè)兩圓半徑分別為R,r, 圓心距為h, 那么兩圓相交得到的面積為
R^2(\alpha-\frac{1}{2}\sin{2\alpha})+r^2(\beta-\frac{1}{2}\sin{2\beta})

其中， r的變 ...

如果你對(duì)pdf感興趣，那么 $f(r)=2r\beta$ 等于以r為半徑，2Beta為弧度的圓弧長(zhǎng)。你也可以對(duì)上面的 cdf對(duì)r求導(dǎo)得到 $2r\beta$ 。不過mean還是求不出來的（沒有初等表達(dá)式）

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3樓2015-05-26 08:43:30

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4樓2015-05-26 10:56:17

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chenghehe321: 回帖置頂 2015-05-26 17:06:42
chenghehe321: 取消置頂 2015-05-26 17:07:09

引用回帖:

3樓: Originally posted by hank612 at 2015-05-26 08:43:30
如果你對(duì)pdf感興趣，那么 f(r)=2r\beta等于以r為半徑，2Beta為弧度的圓弧長(zhǎng)。你也可以對(duì)上面的 cdf對(duì)r求導(dǎo)得到2r\beta。不過mean還是求不出來的（沒有初等表達(dá)式）...

感謝你的回答，我已經(jīng)搞清楚我的推導(dǎo)哪里出問題了。
你的分布函數(shù)是對(duì)的，不過概率密度函數(shù)不像是對(duì)的。\alpha和\beta是關(guān)于r的反三角函數(shù)，在求導(dǎo)的時(shí)候不能直接略去吧。
我正在求最后的式子，好像很復(fù)雜的式子。

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5樓2015-05-26 16:16:10

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引用回帖:

4樓: Originally posted by hank612 at 2015-05-26 10:56:17
設(shè)h=k*R, k>1, 則r^2=R^2+h^2-2Rh\cos{\alpha}=R^2(1+k^2-2k\cos{\alpha},

并且
\frac{\sin{\beta}}{R}=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{h}推出 \tan{\beta}=\frac{\sin{\alpha}}{k-\cos{\alpha}}.

于是以x ...

你是對(duì)的。

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6樓2015-05-27 14:21:25

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你確定4樓是對(duì)的嗎？我咋覺得他理解成圓上了，而不是圓內(nèi)~~

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7樓2016-10-19 16:50:58

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8樓2016-10-19 21:28:09

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