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yibaka

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$\int_{ - \pi }^\pi {\frac{{x \cdot \sin x}}{{1 + \cos ^2 x}}} dx$

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1樓 2015-06-16 22:10:05

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hank612

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引用回帖:

8樓: Originally posted by 拉馬之仆 at 2015-06-18 00:44:51
如果只是單純求樓主的積分，3樓才是巧妙的正解，用復(fù)變方法雖然有效，但很麻煩，過(guò)程如下（不會(huì)編代碼，打公式真辛苦

）：
http://image.keyan.cc/data/weixin/4f/d2/d9bfda9dda334004fd28e458fda67214.jpg...

學(xué)問(wèn)深處意氣平

拉馬之仆的解題過(guò)程似乎曲折,但因?yàn)樗悸非逦鲝? 文章一氣呵成,答案水到渠成, 大贊

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We_must_know. We_will_know.

9樓2015-06-18 05:34:57

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拉馬之仆

銀蟲 (小有名氣)

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
yibaka(feixiaolin代發(fā)): 金幣+3 2015-06-17 08:21:20

用復(fù)變方法，令z=e^(ix)，將原積分化為圍線積分求留數(shù)。

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2樓2015-06-16 23:14:08

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hank612

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★
yibaka(feixiaolin代發(fā)): 金幣+2 2015-06-17 08:21:27
feixiaolin: 金幣+2 2015-06-23 22:21:42
feixiaolin: 數(shù)學(xué)EPI+1, 2015第2季度數(shù)學(xué)EPI 2015-07-01 20:59:17

拉馬之仆提供的是正解
我提供一個(gè)投機(jī)取巧的方法.

首先這被積函數(shù)是個(gè)偶函數(shù), 因此等于 $2\int_{0}^{\pi} \frac{-x\cdot d{\cos{x}}}{1+\cos^2{x}}$

分部積分, $-2x\cdot \arctan{\cos{x}}|_0^{\pi}+2\int_{0}^{\pi} \arctan{\cos{x}}dx$

前面一部分值為 $\frac{\pi^2}{2}$ , 后面的積分關(guān)于 $x=\pi/2$ 中心對(duì)稱, 一正一負(fù)剛好抵消, 所以最后答案就是

$\frac{\pi^2}{2}$

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We_must_know. We_will_know.

3樓2015-06-17 02:19:23

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引用回帖:

2樓: Originally posted by 拉馬之仆 at 2015-06-16 23:14:08
用復(fù)變方法，令z=e^(ix)，將原積分化為圍線積分求留數(shù)。

可以具體把過(guò)程寫一下嗎？謝謝了

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4樓2015-06-17 10:12:42

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