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越位科普系列--數(shù)學篇之“數(shù)的構(gòu)造”
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來個搬門弄斧。若有錯誤之處，請不吝指出。 原文鏈接 近世代數(shù)（群論、環(huán)、域理論）給出了數(shù)的骨架結(jié)構(gòu)； 集合論關(guān)于無窮的論述相當于了數(shù)的血肉； 而測度論賦予了數(shù)應(yīng)有的氣息。 另外，文中沒有談皮亞諾關(guān)于自然數(shù)的公理系統(tǒng)。 |
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leedobb: 回帖置頂 2015-09-05 15:02:23
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那我帖一下吧，是微博長文 ------------------- 越位科普系列按： 最近中國科學家們都忙著發(fā)文章，作者只好冒險越位科普科普。但作者知識水平有限，若有錯誤或不理解之處請不吝指出。另外需要提醒在校學生謹記科普不能代替專業(yè)學習，真正深入的學習還得找專業(yè)的書籍，因此本系列每篇文章最后都會附上專業(yè)參考書及一些概念更精確的定義。 ------ 我們每天都在跟數(shù)打交道，早上起來，看了一下手機，唉啊9點30分了，要遲到了，先看看股票吧，嗯3200多點，跌了一點點，那支股票我每股12元買入的，現(xiàn)在都跌到6塊5了，讓我算算虧了多少錢...... 如此看來，似乎我們都很懂數(shù)。最起碼小華覺得他懂有理數(shù)，然后集合論的發(fā)明者康托問小華那你知道有理數(shù)和整數(shù)誰的個數(shù)多嗎？小華一想有理數(shù)包括了整數(shù)，因此說有理數(shù)多�？低姓f，看來你還是不太懂數(shù)。后來康托又問小華下面幾個問題，他大多都沒答上來。 1、有幾種數(shù)呢？ 簡答（后期唐僧）： 整數(shù)（...-1,0,1,2...）、有理數(shù)(2/3,1.5,1,7/8...)、實數(shù)(Pi, 2.12，√3...)、復數(shù)(i, 1+2i,...)。其中整數(shù)通常稱為整數(shù)環(huán)(Integer Ring), 其它三種有理數(shù)，實數(shù)，復數(shù)稱為數(shù)域(field)，可嚴格證明它們是僅有三種可交換的無限數(shù)域。對了你先別問我什么是數(shù)域，我叫正常唐僧告訴你，或者見附錄。 長答（正常唐僧）： 不好意思，我說話有點JJWW，若不想聽，可直覺跳至下一問。當然有自然數(shù)、整數(shù)，其中自然數(shù)｛0，1，2，3...｝就是非負整數(shù)，我默認你們都知道什么是整數(shù)。在整數(shù)里你可以有加減乘除，其中任何兩個整數(shù)加減仍然為整數(shù)，有時我們說整數(shù)對加減法閉合，但兩個整數(shù)相除不一定為整數(shù)，此時數(shù)學家會說整數(shù)對加法成“群”，對乘法不成群，這種數(shù)學結(jié)構(gòu)通常被稱為“環(huán)”或叫整數(shù)環(huán)。 你會問兩個整數(shù)相除除不盡咋辦，那簡單把除不盡的數(shù)包括進來統(tǒng)稱為有理數(shù)就行了，此時有理數(shù)顯然比整數(shù)要“完美”，因為它對加法閉合，除去0對乘法也閉合，即有理數(shù)就成“域”了，通俗一點講就是：有理數(shù)通過加法和乘法這兩種滾法是滾不出有理數(shù)這個域的。事實上，有理數(shù)是最小的無限數(shù)域。 貌似事情就這么結(jié)束了，但好事者說a*a我好像可以定義成叫a的平方，然后大家就會倒過來想，比如什么的平方等于2？完了，這下滾到外面去了，這個數(shù)不是有理數(shù)！我們直接寫成根號2，即√2=1.414....，好，再把其它通通都包括進來，于是我們把有理數(shù)又進一步擴展成實數(shù)域（它包含了有理數(shù)和無理數(shù)）。實數(shù)域的數(shù)在實數(shù)軸上表達起來很直觀，嗯，這下事情總算結(jié)束了吧。看起來實數(shù)已經(jīng)真的包含了所有的數(shù)，而且似乎也很完美。 等等，那什么的平方等于-1？一開始大家都覺得-1的開平方無意義。但人們發(fā)現(xiàn)解n次方程時，一般都有n個解，但不知道為什么有時少于n個解（即使算上簡并解），若把-1開平方當成有意義的話，人們就發(fā)現(xiàn)所有的n次方程都是n個解了。因此，從對稱性上考慮，我們似乎應(yīng)該把i=√-1也得看成一個數(shù)，此時你會問i的本質(zhì)是什么？其實i的本質(zhì)就是它的平方等于-1，就像2的本質(zhì)就是1的后繼者一樣。于是，人們很快發(fā)現(xiàn)把i囊括進來后，很容易把實數(shù)拓展到一個全新的數(shù)域即復數(shù)域，它把實數(shù)域里沒能展現(xiàn)出來的對稱性都展現(xiàn)出來了。這下基本上再怎么好動也滾不出去復數(shù)域了。比如，在實數(shù)域內(nèi)三角函數(shù)sinx,cosx看起似乎有點關(guān)聯(lián)又不太一樣，但它們?nèi)粼趶蛿?shù)域則可以表達成一個統(tǒng)一的函數(shù)exp(ix)，此時就對稱多了，因為之前的復雜的sin(x+y)展開公式到了這就只是exp(i(x+y))=exp(ix)*exp(iy)這么簡單了，對稱性暴露無余，或者叫本來在復數(shù)域極為對稱的數(shù)學構(gòu)造投影在實數(shù)軸上，只露出一個不太規(guī)則的截面。 正是由于復數(shù)域極佳的對稱性，同學們會發(fā)現(xiàn)物理學領(lǐng)域到處可見復數(shù)的蹤影，主要是因為物理學也是極其講究對稱性的學科（即便看起來這類數(shù)有點虛）。 當然，除了這三種數(shù)域，還有四元數(shù)，但對乘法不交換。另外，還有一類外爾代數(shù)里的數(shù)，這種數(shù)交換后改變符號，即a*b=-b*a, 這樣就會出現(xiàn)a^n=0(n>=2)這種情形，這種數(shù)適合描述費米子對應(yīng)的場。 2、每種數(shù)的個數(shù)一樣多嗎？ 簡答（后期唐僧）： 整數(shù)與有理數(shù)的個數(shù)一樣多，可數(shù)無窮多個，即可以一個個列下去（即使是無窮多個）。但實數(shù)的個數(shù)比有理數(shù)要多，為不可數(shù)無窮多個，即你不可能找到一個把實數(shù)一個個無窮排下去的方案告訴別人這是所有的實數(shù)；如果有理數(shù)個數(shù)為N個的話，實數(shù)的個數(shù)就為2的N次方個。而復數(shù)的個數(shù)跟實數(shù)的個數(shù)一樣多，比如實數(shù)的個數(shù)為H個的話，復數(shù)的個數(shù)應(yīng)該為H^2仍然等于H個（但2^H大于H，無窮大的數(shù)的計算中，一般只有無窮大出現(xiàn)在指數(shù)上時才有可能產(chǎn)生更大的數(shù)）。 長答（正常唐僧）：或許對于這個問題，你只要記住后期唐僧說的話就行了。具體的解釋呢，我會嘗試嘮叨點，但不要期望太高。 這個問題其實本質(zhì)上涉及到什么是無窮以及無窮的種類。在康托之前，人類對于無窮的認識極其含糊�？低型ㄟ^構(gòu)建他的集合論，借助映射這個強大的工具，終于能夠分析比較不同集合的大小，他發(fā)現(xiàn)有理數(shù)和整數(shù)可以實現(xiàn)一對一的映射，因此它們的個數(shù)一樣多，你或許會覺得有理數(shù)好像多了許多，而且似乎也不能列成一串變成所謂的可數(shù)無窮，但康托通過把有理數(shù)m/n表達成數(shù)對(m,n)，再把它斜角重排連線后就會發(fā)現(xiàn)，可變成一串可數(shù)無窮。 然后，康托證明了人類史上幾乎是最偉大的數(shù)學證明，他發(fā)現(xiàn)實數(shù)的個數(shù)比有理數(shù)多！后來，他用了一個更簡單的對角論證法(wiki diagonal argument)重新證明了這一論點。作者認為他的這個發(fā)現(xiàn)在人類思想史的重要性比愛因斯坦的相對論還重要。 而復數(shù)的個數(shù)與實數(shù)個數(shù)一樣多，另外甚至n維空間里的點的個數(shù)也跟實數(shù)的個數(shù)一樣多，這里不要混淆體積與集合大小這兩個概念。這可能也有點不好理解。而實數(shù)函數(shù)的總的個數(shù)為2^H比實數(shù)個數(shù)要多。 2、0到1之間所有有理數(shù)的總長度為多少？ 簡答（后期唐僧）：當然我們知道所有數(shù)的總長為1，這里定義的長度一般稱為測度。有理數(shù)的總長度為0，實數(shù)的總長度為1。這似乎給人一種感覺，有理數(shù)雖然貌似非常密，任意兩個離得再近的有理數(shù)之間仍然可以再塞進新的有理數(shù)，但有理數(shù)似乎仍然是“漏水”的，而實數(shù)則真是密不透風，具體這部分的回答還是直接看書比較好。貧僧只能幫到這了。 長答（正常唐僧）：走，西竺。 --------- 附錄： 推薦書目：姚慕生，《抽象代數(shù)學》，復旦大學出版社 胡適耕，《實變函數(shù)》，高等教育出版社 克萊因，《古今數(shù)學思想史》 ------- 基本概念： 群：非空集合G上定義有一運算（如乘法）a*b 使得該運算滿足 封閉性：a,b屬于G則，a*b也屬于G 結(jié)合性：(a*b)*c=a*(b*c) 單位元：存在單位元e，使得G任意元素都有a*e=e*a = a 逆元：對G任意元素a,存在b使得，a*b=e 環(huán)：一個集合R定義有兩種運算(+和*)，且滿足以下三個公理 R對加法成交換群 R對乘法為存在單位元的半群，即封閉、滿足結(jié)合率，有單位元，但有些元素沒逆元。 乘法對加法滿足分配律：a*(b+c)=a*b+a*c 域：一個集合F有兩種運算(+和*）,且對加法成群，F(xiàn)-{0}后對乘法成群，乘法對加法滿足分配律。 對角論證： 反證法，假設(shè)0到1之間的實數(shù)也是可數(shù)無窮，那么假設(shè)s1,s2,s3,s4,s5,....包含了所有實數(shù)，并把它寫成二進制（前面省略了0.）�，F(xiàn)在構(gòu)造一個數(shù)s使得它的第i位與si的第i位互補，那么顯然s不屬于s1,s2,s3,....序列中的任意一個，這與開始假設(shè)這個序列包含所有實數(shù)相矛盾。 |
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