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leedobb

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[交流] 越位科普系列--數(shù)學(xué)篇之“數(shù)的構(gòu)造”

來(lái)個(gè)搬門(mén)弄斧。若有錯(cuò)誤之處，請(qǐng)不吝指出。
原文鏈接

近世代數(shù)（群論、環(huán)、域理論）給出了數(shù)的骨架結(jié)構(gòu)；
集合論關(guān)于無(wú)窮的論述相當(dāng)于了數(shù)的血肉；
而測(cè)度論賦予了數(shù)應(yīng)有的氣息。

另外，文中沒(méi)有談皮亞諾關(guān)于自然數(shù)的公理系統(tǒng)。

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1樓 2015-09-05 07:39:27

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大林好青年

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20樓2015-09-05 09:54:30

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電科---微固

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22樓2015-09-05 09:54:58

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larry0211

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文章不錯(cuò)啊，我讀讀比較合適。

另外“Pre-ST意識(shí)理論的簡(jiǎn)介”也不錯(cuò)，也看了。

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25樓2015-09-05 13:14:18

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leedobb

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引用回帖:

25樓: Originally posted by larry0211 at 2015-09-05 13:14:18
文章不錯(cuò)啊，我讀讀比較合適。

另外“Pre-ST意識(shí)理論的簡(jiǎn)介”也不錯(cuò)，也看了。

謝謝支持。現(xiàn)在已經(jīng)很少人關(guān)心這些問(wèn)題了。

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26樓2015-09-05 13:33:56

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hylpy

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小木蟲(chóng): 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖

看不到啊???????????

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27樓2015-09-05 14:19:07

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leedobb

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leedobb: 回帖置頂 2015-09-05 15:02:23

引用回帖:

27樓: Originally posted by hylpy at 2015-09-05 14:19:07
看不到啊???????????

那我帖一下吧，是微博長(zhǎng)文
-------------------
越位科普系列按：
最近中國(guó)科學(xué)家們都忙著發(fā)文章，作者只好冒險(xiǎn)越位科普科普。但作者知識(shí)水平有限，若有錯(cuò)誤或不理解之處請(qǐng)不吝指出。另外需要提醒在校學(xué)生謹(jǐn)記科普不能代替專業(yè)學(xué)習(xí)，真正深入的學(xué)習(xí)還得找專業(yè)的書(shū)籍，因此本系列每篇文章最后都會(huì)附上專業(yè)參考書(shū)及一些概念更精確的定義。
------
我們每天都在跟數(shù)打交道，早上起來(lái)，看了一下手機(jī)，唉啊9點(diǎn)30分了，要遲到了，先看看股票吧，嗯3200多點(diǎn)，跌了一點(diǎn)點(diǎn)，那支股票我每股12元買入的，現(xiàn)在都跌到6塊5了，讓我算算虧了多少錢(qián)......
如此看來(lái)，似乎我們都很懂?dāng)?shù)。最起碼小華覺(jué)得他懂有理數(shù)，然后集合論的發(fā)明者康托問(wèn)小華那你知道有理數(shù)和整數(shù)誰(shuí)的個(gè)數(shù)多嗎？小華一想有理數(shù)包括了整數(shù)，因此說(shuō)有理數(shù)多�？低姓f(shuō)，看來(lái)你還是不太懂?dāng)?shù)。后來(lái)康托又問(wèn)小華下面幾個(gè)問(wèn)題，他大多都沒(méi)答上來(lái)。
1、有幾種數(shù)呢？
   簡(jiǎn)答（后期唐僧）：整數(shù)（...-1,0,1,2...）、有理數(shù)(2/3,1.5,1,7/8...)、實(shí)數(shù)(Pi, 2.12，√3...)、復(fù)數(shù)(i, 1+2i,...)。其中整數(shù)通常稱為整數(shù)環(huán)(Integer Ring), 其它三種有理數(shù)，實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)稱為數(shù)域(field)，可嚴(yán)格證明它們是僅有三種可交換的無(wú)限數(shù)域。對(duì)了你先別問(wèn)我什么是數(shù)域，我叫正常唐僧告訴你，或者見(jiàn)附錄。
   長(zhǎng)答（正常唐僧）：不好意思，我說(shuō)話有點(diǎn)JJWW，若不想聽(tīng)，可直覺(jué)跳至下一問(wèn)。當(dāng)然有自然數(shù)、整數(shù)，其中自然數(shù)｛0，1，2，3...｝就是非負(fù)整數(shù)，我默認(rèn)你們都知道什么是整數(shù)。在整數(shù)里你可以有加減乘除，其中任何兩個(gè)整數(shù)加減仍然為整數(shù)，有時(shí)我們說(shuō)整數(shù)對(duì)加減法閉合，但兩個(gè)整數(shù)相除不一定為整數(shù)，此時(shí)數(shù)學(xué)家會(huì)說(shuō)整數(shù)對(duì)加法成“群”，對(duì)乘法不成群，這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)通常被稱為“環(huán)”或叫整數(shù)環(huán)。
你會(huì)問(wèn)兩個(gè)整數(shù)相除除不盡咋辦，那簡(jiǎn)單把除不盡的數(shù)包括進(jìn)來(lái)統(tǒng)稱為有理數(shù)就行了，此時(shí)有理數(shù)顯然比整數(shù)要“完美”，因?yàn)樗鼘?duì)加法閉合，除去0對(duì)乘法也閉合，即有理數(shù)就成“域”了，通俗一點(diǎn)講就是：有理數(shù)通過(guò)加法和乘法這兩種滾法是滾不出有理數(shù)這個(gè)域的。事實(shí)上，有理數(shù)是最小的無(wú)限數(shù)域。
貌似事情就這么結(jié)束了，但好事者說(shuō)a*a我好像可以定義成叫a的平方，然后大家就會(huì)倒過(guò)來(lái)想，比如什么的平方等于2？完了，這下滾到外面去了，這個(gè)數(shù)不是有理數(shù)！我們直接寫(xiě)成根號(hào)2，即√2=1.414....，好，再把其它通通都包括進(jìn)來(lái)，于是我們把有理數(shù)又進(jìn)一步擴(kuò)展成實(shí)數(shù)域（它包含了有理數(shù)和無(wú)理數(shù)）。實(shí)數(shù)域的數(shù)在實(shí)數(shù)軸上表達(dá)起來(lái)很直觀，嗯，這下事情總算結(jié)束了吧�？雌饋�(lái)實(shí)數(shù)已經(jīng)真的包含了所有的數(shù)，而且似乎也很完美。
   等等，那什么的平方等于-1？一開(kāi)始大家都覺(jué)得-1的開(kāi)平方無(wú)意義。但人們發(fā)現(xiàn)解n次方程時(shí)，一般都有n個(gè)解，但不知道為什么有時(shí)少于n個(gè)解（即使算上簡(jiǎn)并解），若把-1開(kāi)平方當(dāng)成有意義的話，人們就發(fā)現(xiàn)所有的n次方程都是n個(gè)解了。因此，從對(duì)稱性上考慮，我們似乎應(yīng)該把i=√-1也得看成一個(gè)數(shù)，此時(shí)你會(huì)問(wèn)i的本質(zhì)是什么？其實(shí)i的本質(zhì)就是它的平方等于-1，就像2的本質(zhì)就是1的后繼者一樣。于是，人們很快發(fā)現(xiàn)把i囊括進(jìn)來(lái)后，很容易把實(shí)數(shù)拓展到一個(gè)全新的數(shù)域即復(fù)數(shù)域，它把實(shí)數(shù)域里沒(méi)能展現(xiàn)出來(lái)的對(duì)稱性都展現(xiàn)出來(lái)了。這下基本上再怎么好動(dòng)也滾不出去復(fù)數(shù)域了。比如，在實(shí)數(shù)域內(nèi)三角函數(shù)sinx,cosx看起似乎有點(diǎn)關(guān)聯(lián)又不太一樣，但它們?nèi)粼趶?fù)數(shù)域則可以表達(dá)成一個(gè)統(tǒng)一的函數(shù)exp(ix)，此時(shí)就對(duì)稱多了，因?yàn)橹暗膹?fù)雜的sin(x+y)展開(kāi)公式到了這就只是exp(i(x+y))=exp(ix)*exp(iy)這么簡(jiǎn)單了，對(duì)稱性暴露無(wú)余，或者叫本來(lái)在復(fù)數(shù)域極為對(duì)稱的數(shù)學(xué)構(gòu)造投影在實(shí)數(shù)軸上，只露出一個(gè)不太規(guī)則的截面。
正是由于復(fù)數(shù)域極佳的對(duì)稱性，同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn)物理學(xué)領(lǐng)域到處可見(jiàn)復(fù)數(shù)的蹤影，主要是因?yàn)槲锢韺W(xué)也是極其講究對(duì)稱性的學(xué)科（即便看起來(lái)這類數(shù)有點(diǎn)虛）。
當(dāng)然，除了這三種數(shù)域，還有四元數(shù)，但對(duì)乘法不交換。另外，還有一類外爾代數(shù)里的數(shù)，這種數(shù)交換后改變符號(hào)，即a*b=-b*a, 這樣就會(huì)出現(xiàn)a^n=0(n>=2)這種情形，這種數(shù)適合描述費(fèi)米子對(duì)應(yīng)的場(chǎng)。
  2、每種數(shù)的個(gè)數(shù)一樣多嗎？
   簡(jiǎn)答（后期唐僧）：整數(shù)與有理數(shù)的個(gè)數(shù)一樣多，可數(shù)無(wú)窮多個(gè)，即可以一個(gè)個(gè)列下去（即使是無(wú)窮多個(gè)）。但實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)比有理數(shù)要多，為不可數(shù)無(wú)窮多個(gè)，即你不可能找到一個(gè)把實(shí)數(shù)一個(gè)個(gè)無(wú)窮排下去的方案告訴別人這是所有的實(shí)數(shù)；如果有理數(shù)個(gè)數(shù)為N個(gè)的話，實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)就為2的N次方個(gè)。而復(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)跟實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)一樣多，比如實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為H個(gè)的話，復(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)該為H^2仍然等于H個(gè)（但2^H大于H，無(wú)窮大的數(shù)的計(jì)算中，一般只有無(wú)窮大出現(xiàn)在指數(shù)上時(shí)才有可能產(chǎn)生更大的數(shù)）。
   長(zhǎng)答（正常唐僧）：或許對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，你只要記住后期唐僧說(shuō)的話就行了。具體的解釋呢，我會(huì)嘗試嘮叨點(diǎn)，但不要期望太高。
   這個(gè)問(wèn)題其實(shí)本質(zhì)上涉及到什么是無(wú)窮以及無(wú)窮的種類。在康托之前，人類對(duì)于無(wú)窮的認(rèn)識(shí)極其含糊�？低型ㄟ^(guò)構(gòu)建他的集合論，借助映射這個(gè)強(qiáng)大的工具，終于能夠分析比較不同集合的大小，他發(fā)現(xiàn)有理數(shù)和整數(shù)可以實(shí)現(xiàn)一對(duì)一的映射，因此它們的個(gè)數(shù)一樣多，你或許會(huì)覺(jué)得有理數(shù)好像多了許多，而且似乎也不能列成一串變成所謂的可數(shù)無(wú)窮，但康托通過(guò)把有理數(shù)m/n表達(dá)成數(shù)對(duì)(m,n)，再把它斜角重排連線后就會(huì)發(fā)現(xiàn)，可變成一串可數(shù)無(wú)窮。
   然后，康托證明了人類史上幾乎是最偉大的數(shù)學(xué)證明，他發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)比有理數(shù)多！后來(lái)，他用了一個(gè)更簡(jiǎn)單的對(duì)角論證法(wiki diagonal argument)重新證明了這一論點(diǎn)。作者認(rèn)為他的這個(gè)發(fā)現(xiàn)在人類思想史的重要性比愛(ài)因斯坦的相對(duì)論還重要。
   而復(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)與實(shí)數(shù)個(gè)數(shù)一樣多，另外甚至n維空間里的點(diǎn)的個(gè)數(shù)也跟實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)一樣多，這里不要混淆體積與集合大小這兩個(gè)概念。這可能也有點(diǎn)不好理解。而實(shí)數(shù)函數(shù)的總的個(gè)數(shù)為2^H比實(shí)數(shù)個(gè)數(shù)要多。
2、0到1之間所有有理數(shù)的總長(zhǎng)度為多少？
   簡(jiǎn)答（后期唐僧）：當(dāng)然我們知道所有數(shù)的總長(zhǎng)為1，這里定義的長(zhǎng)度一般稱為測(cè)度。有理數(shù)的總長(zhǎng)度為0，實(shí)數(shù)的總長(zhǎng)度為1。這似乎給人一種感覺(jué)，有理數(shù)雖然貌似非常密，任意兩個(gè)離得再近的有理數(shù)之間仍然可以再塞進(jìn)新的有理數(shù)，但有理數(shù)似乎仍然是“漏水”的，而實(shí)數(shù)則真是密不透風(fēng)，具體這部分的回答還是直接看書(shū)比較好。貧僧只能幫到這了。
   長(zhǎng)答（正常唐僧）：走，西竺。

---------
  附錄：
  推薦書(shū)目：姚慕生，《抽象代數(shù)學(xué)》，復(fù)旦大學(xué)出版社
               胡適耕，《實(shí)變函數(shù)》，高等教育出版社
               克萊因，《古今數(shù)學(xué)思想史》
  -------
  基本概念：
  群：非空集合G上定義有一運(yùn)算（如乘法）a*b 使得該運(yùn)算滿足
封閉性：a,b屬于G則，a*b也屬于G
結(jié)合性：(a*b)*c=a*(b*c)
單位元：存在單位元e，使得G任意元素都有a*e=e*a = a
逆元：對(duì)G任意元素a,存在b使得，a*b=e
  環(huán)：一個(gè)集合R定義有兩種運(yùn)算(+和*)，且滿足以下三個(gè)公理
R對(duì)加法成交換群
R對(duì)乘法為存在單位元的半群，即封閉、滿足結(jié)合率，有單位元，但有些元素沒(méi)逆元。
乘法對(duì)加法滿足分配律：a*(b+c)=a*b+a*c
域：一個(gè)集合F有兩種運(yùn)算(+和*）,且對(duì)加法成群，F(xiàn)-{0}后對(duì)乘法成群，乘法對(duì)加法滿足分配律。
  對(duì)角論證：
   反證法，假設(shè)0到1之間的實(shí)數(shù)也是可數(shù)無(wú)窮，那么假設(shè)s1,s2,s3,s4,s5,....包含了所有實(shí)數(shù)，并把它寫(xiě)成二進(jìn)制（前面省略了0.）。現(xiàn)在構(gòu)造一個(gè)數(shù)s使得它的第i位與si的第i位互補(bǔ)，那么顯然s不屬于s1,s2,s3,....序列中的任意一個(gè)，這與開(kāi)始假設(shè)這個(gè)序列包含所有實(shí)數(shù)相矛盾。

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28樓2015-09-05 15:02:06

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