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baiduyangwen金蟲 (小有名氣)
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[交流]
量子力學(xué)中的厄米共軛，及算符作用到波函數(shù) 已有4人參與
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堇廬：錢先生，請(qǐng)問量子力學(xué)中的算符是不是只對(duì)波函數(shù)作用？我看曾謹(jǐn)言寫的書里講算符共軛時(shí)，他把算符作用到波函數(shù)的共軛復(fù)數(shù)上？ 錢伯初：對(duì)。錯(cuò)，錯(cuò)，他把概念弄錯(cuò)了，我跟他說過。在波函數(shù)的階段，我們只定義了對(duì)波函數(shù)作用的算符，從來沒有定義對(duì)波函數(shù)的共軛復(fù)數(shù)作用的算符。普遍的微分算符，那個(gè)可以，但不能作為量子力學(xué)的算符。量子力學(xué)只定義在波函數(shù)上定義的算符。這個(gè)概念除非要到狄拉克符號(hào)的階段，就是左矢、右矢，那時(shí)候那個(gè)算符可以向左矢作用，也可以向右矢作用，不過那是另外一種概念。也就是說，在前面光討論波函數(shù)的表達(dá)時(shí)，沒有定義過對(duì)波函數(shù)的共軛復(fù)數(shù)Ψ*作用的算符。 堇廬：我查了一下，朗道的書中好像也是這么寫的，定義共軛算符的時(shí)候，現(xiàn)講算符的轉(zhuǎn)置，再進(jìn)行復(fù)共軛。 錢伯初：這個(gè)是過多的考慮了矩陣運(yùn)算。矩陣運(yùn)算推廣到復(fù)數(shù)領(lǐng)域后，什么叫矩陣的共軛矩陣？就是把那個(gè)矩陣先轉(zhuǎn)置再取共軛復(fù)數(shù)，曾謹(jǐn)言受了這個(gè)影響，也看過朗道的書，朗道書上也是這么講的。我仔細(xì)推敲下來，就是說，光從薛定諤方程，光從波函數(shù)，我們只定義了對(duì)波函數(shù)作用的算符，沒有定義過別的，所以他定義那個(gè)作用在Ψ*，不但是多余的，嚴(yán)格來說是概念錯(cuò)誤，不能定義這樣的算符，不是量子力學(xué)里面的算符。量子力學(xué)里面談的算符，是線性算符，只對(duì)波函數(shù)作用，不能對(duì)波函數(shù)的共軛復(fù)數(shù)作用。這一點(diǎn)么，一層窗戶紙，指出來了，去想想，就明白了。曾謹(jǐn)言怎么會(huì)搞出一個(gè)自找麻煩的錯(cuò)誤，這是不可思議的。 |
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7樓2015-09-26 08:06:15
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小木蟲: 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖
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這說的什么呢？ 怎么感覺看不懂 沒讀過曾書的具體內(nèi)容 不過感覺錢的說法是不是太勉強(qiáng)了 或者說太過于形式規(guī)定了 (如果是錢說的) 波函數(shù)形成一個(gè)線性空間 算符只是這個(gè)這個(gè)線性空間上的線性算符(矩陣) 波函數(shù)的共軛是不是也在這個(gè)線性空間中呢？ 如果是的話，算符自然可以作用在波函數(shù)的共軛上？ 而且即使波函數(shù)的共軛不在這個(gè)空間 也可能會(huì)形成另外一個(gè)結(jié)構(gòu)一樣的空間 其上也可以定義結(jié)構(gòu)一樣的算符 這個(gè)時(shí)候 我們并不需要在意算符的具體形式 結(jié)構(gòu)一樣 就可以認(rèn)為2個(gè)是同樣的東西(或者等價(jià)) 上面真的是錢說的觀點(diǎn)? 感覺太形式著相了 |
2樓2015-09-25 06:59:48
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小木蟲: 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖
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說一下我的理解： 所有波函數(shù)構(gòu)成希爾伯特空間H，它實(shí)質(zhì)上是一個(gè)復(fù)矢量空間。算符是這個(gè)空間自身的映射，也就是說算符F是將一個(gè)波函數(shù)v映射到另一個(gè)波函數(shù)u的一種運(yùn)算。從這個(gè)層面來講，沒有共軛波函數(shù)和共軛算符這些定義。 一旦有了矢量空間和算符，就可以定義這個(gè)空間上的內(nèi)積(v,Fu)＝∫v*Fudr，在這里順便定義了波函數(shù)的共軛，因?yàn)樵诹孔恿W(xué)中，這個(gè)內(nèi)積的運(yùn)算牽扯到了v的共軛，可以把v*組成另一個(gè)集合H*，這也是一個(gè)矢量空間，并且與H相互對(duì)偶。至此，內(nèi)積運(yùn)算就是H×H*→復(fù)數(shù)集C的映射。 然后，量子力學(xué)的算符具有厄米性，也就是說(Fu,v)＝(u,Fv)，由這個(gè)性質(zhì)才可以真正定義算符作用于波函數(shù)的共軛。 再后面，狄拉克符號(hào)把上面這些東西都改寫一下，更加物理性，我們常說的右矢左矢，在數(shù)學(xué)里就是矢量和對(duì)偶矢量。 算符本質(zhì)上是一種映射，并且是一種線性變換，所以算符也可用矩陣來表示（同構(gòu)），這才出現(xiàn)了厄米共軛對(duì)于矩陣的操作。 發(fā)自小木蟲IOS客戶端 |
3樓2015-09-25 10:40:45
baiduyangwen
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4樓2015-09-25 20:20:48
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