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xmq401新蟲 (初入文壇)
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關(guān)于一元多項式環(huán)K[x]的通用性質(zhì)
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《高等代數(shù)》下冊，第3版，作者丘維生 第7章、第7頁-第8頁 定理4 設(shè)k是一個數(shù)域，R是有單位元的交換環(huán)，R1是R的子環(huán)，并且K到R1有一個環(huán)同構(gòu)映射τ“套”。 任意給定t∈R，令σt:K[x]→R f(x)=a0*x^0+a1*x^1+...+an*x^n l→ τ（a0）t^0+τ（a1）t^1+...+τ（an）t^n 按定義=f(t) 那么， σt是K[x]到R的映射；并且σt保持加法、乘法運算法則的話，即如果 f(x)+g(x)=h(x),f(x)g(x)=p(x), 則有 f(t)+g(t)=h(t),f(t)g(t)=p(t); 此外σt(x)=t。 我們把映射σt叫做x用t代入。 // 證明： 由于k[x]中每個元素f(x)的表達(dá)形式唯一（按照降冪排序），并且τ“套”是K到R1的映射，所以σt是k[x]到R的映射。 ——這是第一個疑問：不是給定σt:K[x]→R嗎？那還證明它什么？另外也不明白這個推導(dǎo)過程的內(nèi)在涵義。 根據(jù)σt的定義，得σt（x）=σt(1x)=τ（1）t=R(e)*t=t (說明R(e)是R的基本元) 設(shè)f(x)\g(x)分別以ai\bi為系數(shù)的一元多項式，次數(shù)為n/m，n大于等于m，則 h(x)=f(x)+g(x)，p(x)=f(x)g(x); 根據(jù)σt的定義，和環(huán)同構(gòu)映射τ對加法、乘法的保持性，得 ——下面關(guān)于h(t)=f(t)+g(t),p(t)=f(t)g(t)的一些推導(dǎo)過程，不明白為何可以這樣推導(dǎo)，每個步驟的等式表示什么含義？ 疑問2：子環(huán)R1僅對K保加保乘，為什么最后變成它的母環(huán)R對一元多項式環(huán)K[x]保加保乘？ 盡管這就是通用的性質(zhì)想說明的事情，但這個過程不能理解，如果推導(dǎo)出來的。 望高手能解析其中的疑惑。 |
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xmq401
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- 專業(yè): 代數(shù)學(xué)
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基本搞懂了,我估計是原書印刷一字之差所導(dǎo)致的. // 應(yīng)該是根據(jù)給定的關(guān)于西格瑪t的映射，要求先證明該映射是K[X]到R的雙射（而不僅僅是映射）。 然后證明該映射保加保乘。 于是，一元多項式環(huán)k[x]和任何滿足定理4的環(huán)R同構(gòu)，因此當(dāng)然地可以用R中任何元素t替代x。 // 其實，從證明過程看，反過來替代也可以，但用一元多項式計算出一個加法或乘法的關(guān)系式，是我們最熟悉的計算方式，所以通�？偸怯嬎阋辉囗検�，然后用其它來替換x，從而得到其它環(huán)中的一些關(guān)系式。 |
2樓2015-10-14 16:28:46
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