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[交流] 一個復數(shù)的問題已有2人參與

$g(p)=\prod_{n=1}^{p-1}f(e^{\frac{2\pi i \times n}{p}})$

是否：當f為實解析函數(shù)，p為素數(shù)時，g(p)為實數(shù)值

當p=2時可知一定可行
當p=3時，f(a)=1-a,或f(a)=1-a-a^2,或f(a)=lna,等的驗證都無誤。是否會有反例？

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1樓 2015-11-08 17:14:57

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2樓2015-11-08 19:01:05

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hank612

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"當f為實解析函數(shù)" 是如何定義的？是不是 $\bar{f(z)}=f(\bar{z})$ ?或者等價地，Taylor級數(shù)展開式的每一個系數(shù)都是實數(shù)，譬如 Sin(z), Log(1+z), e^z, 實系數(shù)多項式，等等。

如果是的話，由于那些點關于實數(shù)軸對稱，每一對共軛的復數(shù)使得 $f(z)f(\bar{z})$ 屬于實數(shù)，所以g為實數(shù)值。另外，并沒有要求 p 是素數(shù)。

如果實解析另有定義，就當我沒說。。。

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3樓2015-11-09 11:07:22

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4樓2015-11-09 17:11:26

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3樓: Originally posted by hank612 at 2015-11-09 11:07:22
"當f為實解析函數(shù)" 是如何定義的？是不是 \bar{f(z)}=f(\bar{z})?或者等價地，Taylor級數(shù)展開式的每一個系數(shù)都是實數(shù)，譬如 Sin(z), Log(1+z), e^z, 實系數(shù)多項式，等等。

如果是的話，由于那些點 ...

是啊

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5樓2015-11-10 10:33:57

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4樓: Originally posted by laosam280 at 2015-11-09 17:11:26
總覺得只要p是有理數(shù)都是可以的。那個函數(shù)里面的東西不是單位根嗎？

p=2 可行，p是其他偶數(shù)就不行了，函數(shù)里面的是a^p-1=0,除開a=1的所有根

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6樓2015-11-10 10:37:29

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6樓: Originally posted by ty5198996 at 2015-11-10 10:37:29
p=2 可行，p是其他偶數(shù)就不行了，函數(shù)里面的是a^p-1=0,除開a=1的所有根...

樓主能否把你的例子寫一下呢？比如 p=4,或 p=6, 哪個實解析函數(shù)使得乘積函數(shù)不是實數(shù)值呢？

辛苦了

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7樓2015-11-10 12:56:44

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7樓: Originally posted by hank612 at 2015-11-10 12:56:44
樓主能否把你的例子寫一下呢？比如 p=4,或 p=6, 哪個實解析函數(shù)使得乘積函數(shù)不是實數(shù)值呢？

辛苦了

...

例如，p=4,f(a)=lna,
由 $g(p)=\prod_{n=1}^{p-1}f(e^{\frac{2\pi i \times n}{p}})$

得： $g(4)=\prod_{n=1}^{4-1}ln(e^{\frac{2\pi i \times n}{4}})=<br /> <br /> <br /> lne^{\frac{2\pi i }{4}}\times lne^{\frac{2\pi i \times 2 }{4}} \times lne^{\frac{2\pi i \times 3 }{4}}=\frac{2\pi i }{4} \times \frac{2\pi i \times 2 }{4} \times \frac{2\pi i \times 3 }{4}=\frac{-48\pi i }{64}$ 為復數(shù)

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8樓2015-11-11 20:09:21

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8樓: Originally posted by ty5198996 at 2015-11-11 20:09:21
例如，p=4,f(a)=lna,
由g(p)=\prod_{n=1}^{p-1}f(e^{\frac{2\pi i \times n}{p}})

得：g(4)=\prod_{n=1}^{4-1}ln(e^{\frac{2\pi i \times n}{4}})=

lne^{\frac{2\pi i }{4}}\times lne^{\frac{2\p ...

Log(z) 將負實數(shù) 映到復數(shù)，算是實解析函數(shù)么？

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9樓2015-11-11 23:01:32

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9樓: Originally posted by hank612 at 2015-11-11 23:01:32
Log(z) 將負實數(shù) 映到復數(shù)，算是實解析函數(shù)么？
...

這是個問題

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10樓2015-11-12 16:24:18

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