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北京石油化工學院2026年研究生招生接收調(diào)劑公告

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hylpy

新蟲

[交流] 試求數(shù)列極限,散金

證明：數(shù)列 $\sqrt{7},\sqrt{7-\sqrt{7}},\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7}}},\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7}}}},\cdot \cdot \cdot$ 收斂，并求其極限。

要求答題采用LATEX文本。非LATEX文本，無效。

[ Last edited by hylpy on 2015-11-19 at 08:30 ]

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1樓 2015-11-14 22:23:44

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hylpy

無蟲

2樓解答:

$\because 0<a_{1}<7,0<a_{2}<7$

$\because a_{n+2}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_{n}}}$

$\therefore 0<a_{2n}<7,0<a_{2n+1}<7$

$\therefore 0<a_{n}<7$

$\therefore \{a_{n}\} is\quad bounded$

$\because a_{n+2}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_{n}}}$

$\therefore a_{4n+i}-a_{4(n-1)+i}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_{4n+i-2}}}-\sqrt{7-\sqrt{7+a_{4(n-1)+i-2}}}=\frac{\sqrt{7+a_{4(n-1)+i-2}}-\sqrt{7+a_{4n+i-2}}}{a_{4n+i}+a_{4(n-1)+i}},i=0,1,2,3$

$\therefore a_{4n+i}-a_{4(n-1)+i}=k(a_{4(n-1)+i}-a_{4(n-2)+i}),k>0;i=0,1,2,3$

$\therefore \{a_{4n+i}\} is\quad monotone\quad decreasing.(i=0,1,2,3)$

$\therefore \{a_{4n+i}\} is\quad Convergent\quad sequence.(i=0,1,2,3)$

$Suppose\quad \lim_{n\rightarrow\infty} a_{4n+i}=A$

$\because a_{n+2}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_{n}}}$

$\therefore A=\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7+A}}}}$

$\therefore A=-3,2,\frac{1\pm\sqrt{29}}{2} ......$

$\because 0\leq a_{n}\leq\sqrt{7}$

$\therefore 0\leq A\leq\sqrt{7}$

$\therefore A=2$

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11樓2015-11-15 19:02:44

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普通回帖

0404600213

專家顧問

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小木蟲: 金幣+0.5, 給個紅包，謝謝回帖
hylpy: 金幣+2, 如果重新編一下，就更好了 2015-11-15 19:15:57
Edstrayer: 金幣+5, Latex源文件編譯通過，但不符合小木蟲論壇的格式，鼓勵一下 2015-11-16 17:25:39

我在LATEX里面編輯的，所以只有代碼
要睡覺了，所以格式也沒改，見諒
其實思路就是用單調(diào)有界數(shù)列必有極限這個準則
GOOD NIGHT

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
\par{$$\because 0<a_{1}<7,0<a_{2}<7$$}
\par{$$\because a_{n+2}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_{n}}}$$}
\par{$$\therefore 0<a_{2n+1}<7,0<a_{2n+1}<7$$}
\par{$$\therefore 0<a_{n}<7$$}
\par{$$\therefore \{a_{n}\} is\quad bounded.$$}
\par{quad}
\par{$$\because a_{n+2}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_{n}}}$$}
\par{$$\therefore a_{4n+i}-a_{4(n-1)+i}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_{4n+i-2}}}-\sqrt{7-\sqrt{7+a_{4(n-1)+i-2}}}=\frac{\sqrt{7+a_{4(n-1)+i-2}}-\sqrt{7+a_{4n+i-2}}}{a_{4n+i}+a_{4(n-1)+i}},i=0,1,2,3$$}
\par{$$\therefore a_{4n+i}-a_{4(n-1)+i}=k(a_{4(n-1)+i}-a_{4(n-2)+i}),k>0;i=0,1,2,3$$}
\par{$$\therefore \{a_{4n+i}\} is\quad monotone\quad decreasing.(i=0,1,2,3)$$}
\par{$$\therefore \{a_{4n+i}\} is\quad Convergent\quad sequence.(i=0,1,2,3)$$}
\par{\quad}
\par{$$Suppose\quad \lim_{n\rightarrow\infty} a_{4n+i}=A$$}
\par{$$\because a_{n+2}=\sqrt{7-\sqrt{7+a_{n}}}$$}
\par{$$\therefore A=\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7+A}}}}$$}
\par{$$\therefore A=-3,2,\frac{1\pm\sqrt{29}}{2} ......$$}
\par{$$\because 0\leq a_{n}\leq\sqrt{7}$$}
\par{$$\therefore 0\leq A\leq\sqrt{7}$$}
\par{$$\therefore A=2$$}
\par{.....}
\end{document}

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2樓2015-11-14 23:42:01

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0404600213

兌換貴賓

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引用回帖:

2樓: Originally posted by 0404600213 at 2015-11-14 23:42:01
我在LATEX里面編輯的，所以只有代碼
要睡覺了，所以格式也沒改，見諒
其實思路就是用單調(diào)有界數(shù)列必有極限這個準則
GOOD NIGHT

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\be ...

這個證明是錯的，中間單調(diào)性的分子有理化多了個負號

正確的思路應該是:按下標除以4的余數(shù)將原數(shù)列分成四個數(shù)列，然后可以用上面的方法證明這四個數(shù)列的極限都是2，就能得出這個數(shù)列的極限是2

PS:我在上面的代碼中做了修改，但是16次方程太麻煩了，留待有心人
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3樓2015-11-15 00:41:42

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Edstrayer

新蟲

★
小木蟲: 金幣+0.5, 給個紅包，謝謝回帖

占樓，個坑
http://www.math.org.cn/forum.php ... tra=&page=1
14樓的解法

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5樓2015-11-15 02:03:52

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shabaolin

管理員

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hylpy: 金幣+1 2015-11-15 19:17:13

可以把7改成a

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6樓2015-11-15 04:18:56

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shabaolin

版主

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★
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引用回帖:

3樓: Originally posted by 0404600213 at 2015-11-15 00:41:42
這個證明是錯的，中間單調(diào)性的分子有理化多了個負號

正確的思路應該是:按下標除以4的余數(shù)將原數(shù)列分成四個數(shù)列，然后可以用上面的方法證明這四個數(shù)列的極限都是2，就能得出這個數(shù)列的極限是2

...

是的，這個數(shù)列先要找到周期，再進行常規(guī)的證明

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7樓2015-11-15 09:16:15

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0404600213

實習版主

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hylpy: 金幣+2 2015-11-15 19:17:29

引用回帖:

5樓: Originally posted by Edstrayer at 2015-11-15 02:03:52
占樓，個坑
http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=28175&extra=&page=1
14樓的解法

14樓是在證明了收斂的前提下才可以用

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8樓2015-11-15 09:54:56

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帝_尊

主管區(qū)長

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(⊙o⊙)哇

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9樓2015-11-15 12:22:37

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maojun1998

主管區(qū)長

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hylpy: 金幣+2 2015-11-19 08:25:13

感覺存在不動點

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10樓2015-11-15 16:54:42

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hylpy

禁蟲

引用回帖:

5樓: Originally posted by Edstrayer at 2015-11-15 02:03:52
占樓，個坑
http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=28175&extra=&page=1
14樓的解法

不知道那里有貼，純屬巧合。我是在一本北大的大學數(shù)學競賽輔導書中看到的。謝版主!

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12樓2015-11-15 19:07:49

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hylpy

新蟲

此貼的目的除了發(fā)紅包外，主要是想支持一下論壇提倡Latex回貼.以下跟貼，只要是用Latex語言寫的任何數(shù)學公式等，一律獎2幣。

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13樓2015-11-15 19:11:20

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wgdxidname

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★ ★ ★
小木蟲: 金幣+0.5, 給個紅包，謝謝回帖
hylpy: 金幣+2 2015-11-19 08:25:47

數(shù)列應該是單調(diào)減的。

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14樓2015-11-15 21:25:56

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maojun1998

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★
小木蟲: 金幣+0.5, 給個紅包，謝謝回帖

感覺博士論壇的人好牛逼，我也得到了2是不動點

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15樓2015-11-15 23:03:49

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hylpy

新蟲

將余額散盡

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17樓2015-11-19 08:30:01

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wuqian1016

實習版主

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hylpy(金幣+1): 謝謝參與

祝樓主好運，謝謝樓主的金幣！

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34樓2015-11-19 08:55:38

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tableman

專家顧問

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hylpy(金幣+1): 謝謝參與

祝福樓主了。

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41樓2015-11-19 09:14:02

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簡單回復

stl4094樓

2015-11-15 00:47 回復

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