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zyl17yt

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[求助] A矩陣是實(shí)數(shù)對(duì)稱(chēng)陣 B矩陣式復(fù)數(shù)對(duì)稱(chēng)矩陣且都是n *n 階那C=A+B矩陣是否可以對(duì)角化已有1人參與

希望給出依據(jù) 謝謝非常感謝

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1樓 2015-11-21 13:55:21

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ...
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
zyl17yt: 金幣+60, ★★★★★最佳答案, 高大上，很務(wù)實(shí)的大神 2015-11-22 12:26:59

http://www.netlib.org/utk/people ... plates/node263.html

A complex symmetric matrix may not even be diagonalizable. For example, consider the complex symmetric matrix
$<br /> \begin{displaymath} A = \left[ \begin{array}{cc} 2^ {\tt i} & 1\\ 1 & 0 \end{array} \right],\quad \mbox{where}\quad \mathbb{\tt i}= \sqrt{-1}. \end{displaymath}<br />$

A complex symmetric matrix $A$ is diagonalizable if and only if its eigenvector matrix, $Z$, can be chosen such that
$<br /> \begin{displaymath} Z^T A Z = \Lambda = {\mathop{\rm diag}\nolimits}\left(\lambd... ...da_2,\ldots,\lambda_n\right)\quad \mbox{and}\quad Z^T Z = I_n. \end{displaymath}<br />$

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We_must_know. We_will_know.

2樓2015-11-21 14:13:20

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引用回帖:

2樓: Originally posted by hank612 at 2015-11-21 14:13:20
http://www.netlib.org/utk/people/JackDongarra/etemplates/node263.html

A complex symmetric matrix may not even be diagonalizable. For example, consider the complex symmetric matrix

\begin{displ ...

如果可以對(duì)角化是不是Z的轉(zhuǎn)置乘以Z 等于？我不太懂那個(gè)符號(hào) 是image嗎是虛數(shù)矩陣嗎？

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3樓2015-11-21 14:37:58

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3樓: Originally posted by zyl17yt at 2015-11-21 14:37:58
如果可以對(duì)角化是不是Z的轉(zhuǎn)置乘以Z 等于？我不太懂那個(gè)符號(hào) 是image嗎是虛數(shù)矩陣嗎？...

是 n 階單位陣啊，樓主不要想太多啦

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4樓2015-11-21 15:02:03

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我在matlab實(shí)驗(yàn)了一遍有個(gè)矩陣能對(duì)角化但是Z的轉(zhuǎn)置與Z相乘不是單位矩陣啊

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5樓2015-11-21 15:10:13

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A =

0.0900 + 0.1000i 0.0740 + 0.0980i 0.0790 + 0.1030i 0.0580 + 0.0840i 0.0670 + 0.0870i 0.0390 + 0.0590i
0.0740 + 0.0980i 0.0480 + 0.0900i 0.0410 + 0.0910i 0.0460 + 0.1050i 0.0498 + 0.1000i 0.0600 + 0.1180i
0.0790 + 0.1030i 0.0410 + 0.0910i 0.0500 + 0.0890i 0.0520 + 0.1000i 0.0560 + 0.1070i 0.0610 + 0.1290i
0.0580 + 0.0840i 0.0460 + 0.1050i 0.0520 + 0.1000i 0.0680 + 0.0920i 0.0360 + 0.0800i 0.0425 + 0.0900i
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0.0390 + 0.0590i 0.0600 + 0.1180i 0.0610 + 0.1290i 0.0425 + 0.0900i 0.0700 + 0.1380i 0.0690 + 0.1080i

>> inv(A)

ans =

  11.0997 - 4.5170i  -2.0849 - 0.1170i 3.7928 - 7.3677i  -9.3757 + 4.4458i 2.7057 - 0.8654i  -4.8745 + 8.7390i
  -2.0849 - 0.1170i  57.0213 +11.3650i -50.0150 - 1.7867i  -2.3713 -16.8243i  -1.6068 + 5.7713i 1.4624 - 1.9372i
3.7928 - 7.3677i -50.0150 - 1.7867i  31.3949 +16.5144i 7.9188 +10.5885i 8.0495 -17.8320i  -0.0039 - 0.1400i
  -9.3757 + 4.4458i  -2.3713 -16.8243i 7.9188 +10.5885i  16.0886 - 8.4343i -10.5171 + 7.5749i  -1.0691 - 0.7435i
2.7057 - 0.8654i  -1.6068 + 5.7713i 8.0495 -17.8320i -10.5171 + 7.5749i  -4.9549 +14.4635i 5.8780 - 8.2911i
  -4.8745 + 8.7390i 1.4624 - 1.9372i  -0.0039 - 0.1400i  -1.0691 - 0.7435i 5.8780 - 8.2911i  -2.2014 + 0.4968i

>> [V,D]=eig(A)

V =

0.3911 - 0.0721i 0.6830          0.4089 - 0.1132i  -0.4123 - 0.0719i 0.0430 - 0.0077i 0.0067 + 0.0733i
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D =

0.3367 + 0.5911i       0                0                0                0                0
      0          0.0449 + 0.0556i       0                0                0                0
      0                0          -0.0331 - 0.0598i       0                0                0
      0                0                0          0.0244 + 0.0130i       0                0
      0                0                0                0          -0.0157 - 0.0277i       0
      0                0                0                0                0          0.0107 - 0.0023i

>> inv(V)*A*V

ans =

0.3367 + 0.5911i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i  -0.0000 - 0.0000i  -0.0000 - 0.0000i
  -0.0000 - 0.0000i 0.0449 + 0.0556i  -0.0000 + 0.0000i  -0.0000 - 0.0000i  -0.0000          0.0000
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>> V'V
V'V
  |
Error: Unexpected MATLAB expression.

>> V'*V

ans =

1.0000          0.0006 + 0.1004i 0.0144 + 0.0464i 0.0113 - 0.0511i  -0.0001 + 0.0040i  -0.0078 - 0.0072i
0.0006 - 0.1004i 1.0000          0.0023 - 0.1479i 0.0147 + 0.0294i  -0.0167 + 0.0577i 0.0139 - 0.1006i
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0.0113 + 0.0511i 0.0147 - 0.0294i 0.0410 + 0.1290i 1.0000          -0.0351 + 0.1555i  -0.0298 - 0.5074i
  -0.0001 - 0.0040i  -0.0167 - 0.0577i  -0.0019 - 0.0280i  -0.0351 - 0.1555i 1.0000          -0.0479 + 0.1560i
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>> V'

ans =

0.3911 + 0.0721i 0.4060 + 0.0040i 0.4209 + 0.0098i 0.3742 + 0.0076i 0.4103 + 0.0038i 0.4374
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>> V'*V

ans =

1.0000          0.0006 + 0.1004i 0.0144 + 0.0464i 0.0113 - 0.0511i  -0.0001 + 0.0040i  -0.0078 - 0.0072i
0.0006 - 0.1004i 1.0000          0.0023 - 0.1479i 0.0147 + 0.0294i  -0.0167 + 0.0577i 0.0139 - 0.1006i
0.0144 - 0.0464i 0.0023 + 0.1479i 1.0000          0.0410 - 0.1290i  -0.0019 + 0.0280i  -0.0225 - 0.0596i
0.0113 + 0.0511i 0.0147 - 0.0294i 0.0410 + 0.1290i 1.0000          -0.0351 + 0.1555i  -0.0298 - 0.5074i
  -0.0001 - 0.0040i  -0.0167 - 0.0577i  -0.0019 - 0.0280i  -0.0351 - 0.1555i 1.0000          -0.0479 + 0.1560i
  -0.0078 + 0.0072i 0.0139 + 0.1006i  -0.0225 + 0.0596i  -0.0298 + 0.5074i  -0.0479 - 0.1560i 1.0000

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6樓2015-11-21 15:10:48

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引用回帖:

6樓: Originally posted by zyl17yt at 2015-11-21 15:10:48
A =

0.0900 + 0.1000i 0.0740 + 0.0980i 0.0790 + 0.1030i 0.0580 + 0.0840i 0.0670 + 0.0870i 0.0390 + 0.0590i
0.0740 + 0.0980i 0.0480 + 0.0900i 0.0410 + 0.0910i 0.0460 + 0.1050i ...

我用mathematica 看了一下你的例子，你的結(jié)論沒(méi)錯(cuò)，我覺(jué)得很困惑。你可以自己驗(yàn)證，那些特征向量點(diǎn)乘是正交的 (正交按 $(x,y):=x^Ty=\sum_{k=1}^n x_ky_k$ , 而不是按 $<x,y>:=\sum_{k=1}^n \bar{x_k}y_k$ 來(lái)定義)

我沒(méi)有找到定理在書(shū)或文獻(xiàn)中的證明，就自己寫(xiě)了一個(gè)，不完全，你看看是否靠譜

按上面非常規(guī)定義的正交(x,y). 如果u,v 是對(duì)稱(chēng)復(fù)矩陣A的對(duì)應(yīng)于不同的特征值的特征向量，
那么 0=(u,Av)-(Au,v)推出(u,v)=0. 這你也可以從你的例子里直接驗(yàn)證。也就是說(shuō)，如果對(duì)稱(chēng)矩陣A有n個(gè)互不相等的特征值, 我們應(yīng)該可以看到 $Z^TZ$ 為對(duì)角陣，雖然軟件告訴我們不是這樣的(非常困惑）.

進(jìn)一步， (如果）每一個(gè)(v,v)都非零，那么將v歸一化成 $\frac{v}{\sqrt{(v,v)}}$ , 可以使得Z^TZ=Id.

引理：如果A是復(fù)對(duì)稱(chēng)矩陣，不可以對(duì)角化，那么一定存在特征向量v,滿足 $v^Tv=0$

引理的證明：

如果A的某個(gè)Jordan塊維度=k>1(即不可以對(duì)角化), 那么存在對(duì)應(yīng)于這個(gè)Jordan塊的一組基v1,v2=(A-lambda)v1, v3=(A-lambda)^2 v1,..., vk=(A-lambda)^{k-1} v1，滿足 (A-lambda)vk=0.

即 vk 是唯一的A的對(duì)應(yīng)于lambda的在這個(gè)不變子空間中的特征向量。現(xiàn)在讓v=vk, 則
$(v,v)=((A-\lambda)^{k-1}v_1,(A-\lambda)^{k-1}v_1)=(v_1,(A-\lambda)^{2(k-1)}v_1)=0$ , 此即 $v^Tv=0$

我無(wú)法證明的是，如果對(duì)稱(chēng)矩陣A有n個(gè)不同的特征值，那么每個(gè)特征向量都滿足 (z,z)不等于0.

A矩陣是實(shí)數(shù)對(duì)稱(chēng)陣 B矩陣式復(fù)數(shù)對(duì)稱(chēng)矩陣且都是n *n 階那C=A+B矩陣是否可以對(duì)角化

sym complex matrix.png

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We_must_know. We_will_know.

7樓2015-11-22 08:18:12

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