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這個豪斯多夫空間不一定滿足第三分離公理的例子怎么理解？ 已有1人參與
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柯爾莫戈洛夫函數(shù)論與泛函分析初步2章5節(jié) 第三分離公理T3：任意一點與不包含該點的閉集有不相交的鄰域（就是說一個點和一個不包含這個點的閉集，各有一個包含它們鄰域，它們不相交）。 開集為屬于拓?fù)涞募�，閉集為全空間對開集的余集。 書上原話 例子： 在[0,1]中除點0以外的一切點，都用通常的方法來定理它的鄰域，而把從其中去掉形如1/n(n = 1,2...)這樣所有可能的半開區(qū)間[0,\alpha]作為0的鄰域.這是一個豪斯多夫空間，但其中點0余不包含它的閉集{1/n} 不是用彼此不相交的鄰域來分離你的，即公理T3不成立. 這里{1/n}為什是不包含0的閉集。 首先，可以證明 M是閉集 等價于 M的閉包等于 M。 0的任意鄰域與{1/n}相交，所以0包含在它們的閉包中，所以0 屬于 { 1/n } 否則,{1/n}不是閉集. 另外 把從其中去掉形如1/n(n = 1,2...)這樣所有可能的半開區(qū)間[0,\alpha]作為0的鄰域 這句話什么意思？ |
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2樓2015-12-05 23:30:30
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_kdh3樓2015-12-05 23:37:48
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sskkyy
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【答案】應(yīng)助回帖
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首先，T2空間不一定是T3空間。對于給出的例子，應(yīng)該是這樣理解： ”這里{1/n}為什是不包含0的閉集“ 首先{1/n: n=1,2,...} 是閉集，因為0不在這個集合的閉包里面，因為0的任何領(lǐng)域都是[0,a)\{1/n: n=1,2,...}, 也就是通常的半開區(qū)間，挖掉1/n的點， 這樣的鄰域不包含1/n. 這時候你就發(fā)現(xiàn)，找不出來彼此不相交的鄰域來分離{0}, 與{1/n: n=1,2,...}. 注意：這和通常的拓?fù)浔绕饋�，最大的地方就�?的鄰域的定義。 |
5樓2015-12-06 11:13:22
6樓2015-12-06 12:35:10
maojun1998
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7樓2015-12-07 21:55:44
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