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新手已上路木蟲 (職業(yè)作家)
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什么是抽屜原理？我先看幾個例子： 10只鴿子飛回3個鴿舍，總有一個鴿舍里飛進的鴿子數(shù)不少于4只。這是因為10只鴿子飛進三個鴿舍，10÷3=3(只)…1只，即平均每個鴿舍飛入三只鴿子后，還有1只鴿子沒有飛入，因此總有一個鴿舍至少飛進3+1=4只. 有紅、黃、藍、白珠子各10粒，裝在一只袋子里，為了保證摸出的珠子有兩粒顏色相同，應(yīng)至少摸出幾粒?因為袋子中共有紅、黃、藍、白四種顏色的珠子，要想保證摸出的珠子有兩粒顏色相同，最差情況是摸出的4粒珠子中紅、黃、藍、白四種顏色的珠子各一個，此時只要再任意摸出一粒，就能保證保證摸出的珠子有兩粒顏色相同，即4+1=5粒。 以上這些現(xiàn)象就是我們數(shù)學(xué)里所說的“抽屜原理”， 抽屜原理有時也被稱為鴿巢原理。抽屜原理的一般含義為：把多于n+k個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里的東西不少于兩件。它是組合數(shù)學(xué)中一個重要的原理。 根據(jù)抽屜原理還可以得到：把多于mn(m乘以n)（n不為0）個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有不少于（m+1）的物體。 利用上述原理容易證明：某班從49名學(xué)生中選一名班長，小紅、小明和小華為候選人.統(tǒng)計完37張票后發(fā)現(xiàn)：小紅15票，小明10票，小華12票.在余下的票中，小紅至少再得幾張票才能保證以最多票數(shù)當(dāng)選班長？ 解：還剩下沒統(tǒng)計：49-(15+10+12)=12(張)， 小紅已經(jīng)比小華多了：15-12=3(張)， 若把這12張平均分給二人： 12÷2=6(張)，每人6張，小紅再給小華1張，小華就比小紅多分得2張， 小紅分的數(shù)量6-1=5(張) 所以小紅至少再得5張票才能當(dāng)選。 如果問題所討論的對象有無限多個，抽屜原理還有另一種表述：“把無限多個東西任意分放進n個空抽屜（n是自然數(shù)），那么一定有一個抽屜中放進了無限多個東西�！� 抽屜原理的內(nèi)容簡明樸素，易于接受，它在數(shù)學(xué)問題中有重要的作用。許多有關(guān)存在性的證明都可用它來解決。 看先這個例子： 有50名運動員進行某個項目的單循環(huán)賽，如果沒有平局，也沒有全勝，試證明：一定有兩個運動員積分相同。 證明：設(shè)每勝一局得一分，由于沒有平局，也沒有全勝，則得分情況只有1、2、3……49，只有49種可能，以這49種可能得分的情況為49個抽屜，現(xiàn)有50名運動員得分，則一定有兩名運動員得分相同。 再看下面這個例子： 11名學(xué)生到老師家借書，老師是書房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四類書，每名學(xué)生最多可借兩本不同類的書，最少借一本。試證明：必有兩個學(xué)生所借的書的類型相同。 證明：若學(xué)生只借一本書，則不同的類型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四種，若學(xué)生借兩本不同類型的書，則不同的類型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六種。共有10種類型，把這10種類型看作10個“抽屜”，把11個學(xué)生看作11個“蘋果”。如果誰借哪種類型的書，就進入哪個抽屜，由抽屜原理，至少有兩個學(xué)生，他們所借的書的類型相同。 |
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3樓2015-12-15 17:16:40
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