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[求助] 定橢圓上到橢圓內(nèi)定點(diǎn)距離的最小值如何確定？已有5人參與

一個(gè)困擾很長(zhǎng)時(shí)間的問(wèn)題：橢圓（x^2/4)+(y^2/3)=1 上的點(diǎn)到點(diǎn)(1,1) 的距離的最小值如何求？不是只要思路．

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1樓 2016-01-18 09:10:50

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laosam280

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7樓2016-01-18 13:27:51

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jerkwin

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引用回帖:

22樓: Originally posted by hui470 at 2016-01-19 11:52:11
我沒(méi)有說(shuō)用不等式，你回復(fù)錯(cuò)了。。。。。以（1,1）為圓心畫(huà)圓得到的不只是4次方吧？是一個(gè)極復(fù)雜的方程。。。。
...

不知你自己算過(guò)沒(méi)有.
你使用參數(shù)方程, 然后萬(wàn)能公式代換一下, 得到的就是四次方程.
這是個(gè)計(jì)算幾何上早就有解決方法的問(wèn)題, 沒(méi)有什么難處.
一般情況下就是要解四次方程, 在某些特殊情況下, 比如定點(diǎn)位于x軸或y軸上, 可以簡(jiǎn)單得到解.
以高中的數(shù)學(xué)知識(shí), 沒(méi)有辦法獲得一般情況下的解.
言盡于此, 你好好思考吧.

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23樓2016-01-19 12:41:42

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遙控小丑

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拉格朗日乘數(shù)法應(yīng)該是可以的。。

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中午12點(diǎn)起床吃早飯~

11樓2016-01-18 20:53:42

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yaoshunzhen

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在黑板上用繩子固定兩焦點(diǎn)畫(huà)個(gè)橢圓，然后用繩子量一下，再用尺子量一下繩子，不就行啦？

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shunzhen

18樓2016-01-19 08:03:22

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dfdx

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【答案】應(yīng)助回帖

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szg7724(Edstrayer代發(fā)): 金幣+1 2016-01-19 02:09:55

1，約束條件，拉格朗日……
2，參數(shù)方程！

[ 發(fā)自手機(jī)版 http://www.gaoyang168.com/3g ]

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？

2樓2016-01-18 09:14:16

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dingd

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szg7724(Edstrayer代發(fā)): 金幣+1 2016-01-19 02:10:09

1stOpt求解：

CODE:

Constant x1=1,y1=1;

MinFunction sqrt((x-x1)^2+(y-y1)^2);

            (x^2/4)+(y^2/3)=1;

目標(biāo)函數(shù)值(最小): 0.431777410844043
x: 1.24492086401372
y: 1.35559176436745

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3樓2016-01-18 09:55:57

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不是利用工具求近似解！

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4樓2016-01-18 10:49:39

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dingd

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【答案】應(yīng)助回帖

想自己編程求解？參照3樓，一個(gè)目標(biāo)函數(shù)、一個(gè)等式約束函數(shù)，非常普通的一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題。

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5樓2016-01-18 11:06:08

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5樓: Originally posted by dingd at 2016-01-18 11:06:08
想自己編程求解？參照3樓，一個(gè)目標(biāo)函數(shù)、一個(gè)等式約束函數(shù)，非常普通的一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題。

是初等解法，可以借助導(dǎo)數(shù)，方向容易確定，過(guò)程及結(jié)果是怎樣的？還麻煩大師指點(diǎn)！多謝！

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6樓2016-01-18 13:02:06

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可以用參數(shù)方程，橢圓上面任意一點(diǎn)設(shè)為2cost，3^｛1/2｝sint。然后用距離公式計(jì)算與定點(diǎn)的距離d，d^2=4cos^2 t-4cost+1+3sin^2 t-2 *3^｛1/2｝sint+1=5+cos^2 t-4cost+3sint。后面可以換元成單變量的函數(shù)然后用導(dǎo)數(shù)的辦法求極值。

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8樓2016-01-18 15:20:49

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7樓: Originally posted by laosam280 at 2016-01-18 13:27:51
橢圓的參數(shù)方程為 x=2cos(t), y= sqrt{3}sin(t)
利用兩點(diǎn)間距離公式寫(xiě)出距離 L^2=(x-1)^2+(y-1)^2
將x和y代入，整理，然后對(duì)t求導(dǎo)得到一個(gè)關(guān)于t的超越方程。
這個(gè)方程直接看不出來(lái)，可以去數(shù)值求解。樓主說(shuō)的不要 ...

為什么沒(méi)有解析解？顯然沒(méi)有的依據(jù)是什么？謝謝！

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9樓2016-01-18 18:54:03

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說(shuō)此題是因?yàn)槲以?003年帶高三時(shí)，一個(gè)學(xué)生問(wèn)我河南出版的《中學(xué)生數(shù)理化》上有一個(gè)問(wèn)答欄目河南師范大學(xué)附中的趙振華老師一個(gè)類(lèi)似題目的解答，當(dāng)時(shí)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，好像利用重要不等式的知識(shí)解答的，我后來(lái)下載當(dāng)時(shí)的電子雜志，卻沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這個(gè)題，具體算卻算不出。
還是那句話，思路怎么說(shuō)都可以，我也試了，卻走不通的。所以請(qǐng)朋友們不要只說(shuō)思路！ @laosam280

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10樓2016-01-18 18:59:58

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