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【Mathematical Physics 】【Sadri Hassani】【已搜索，無置重】
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喜歡數(shù)學(xué)物理的蟲游拿去吧！ Contents 1 Mathematical Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Mathematical Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Part I Finite-Dimensional Vector Spaces 2 Vectors and Linear Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1 Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.2 Factor Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.3 DirectSums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.4 Tensor Product of Vector Spaces . . . . . . . . . . 28 2.2 Inner Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1 Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 The Gram-Schmidt Process . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.3 The Schwarz Inequality . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.4 Length of a Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Linear Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.1 Kernel of a Linear Map . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.2 Linear Isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4 ComplexStructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5 Linear Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6 Multilinear Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.6.1 Determinant of a Linear Operator . . . . . . . . . . 55 2.6.2 ClassicalAdjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3 Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1 From Vector Space to Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1.1 General Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.1.2 Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2 Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2.1 Factor Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 xix3.3 Total Matrix Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.4 Derivation of an Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.5 Decomposition of Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.5.1 TheRadical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.5.2 Semi-simple Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.5.3 Classification of Simple Algebras . . . . . . . . . . 92 3.6 Polynomial Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4 Operator Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.1 Algebra of End(V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.1.1 Polynomials of Operators . . . . . . . . . . . . . . 102 4.1.2 Functions of Operators . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.1.3 Commutators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.2 DerivativesofOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.3 ConjugationofOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.3.1 Hermitian Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.3.2 UnitaryOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.4 Idempotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.4.1 ProjectionOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.5 Representation of Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.1 RepresentingVectors andOperators . . . . . . . . . . . . . 137 5.2 OperationsonMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.3 Orthonormal Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.4 Change of Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.5 Determinant of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.5.1 Matrixof theClassicalAdjoint . . . . . . . . . . . 152 5.5.2 Inverseof aMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.5.3 Dual Determinant Function . . . . . . . . . . . . . 158 5.6 TheTrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6 Spectral Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.1 Invariant Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.2 Eigenvalues andEigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.3 Upper-Triangular Representations . . . . . . . . . . . . . . 175 6.4 Complex Spectral Decomposition . . . . . . . . . . . . . . 177 6.4.1 Simultaneous Diagonalization . . . . . . . . . . . . 185 6.5 Functions of Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 6.6 Real Spectral Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . 191 6.6.1 TheCaseofSymmetricOperators . . . . . . . . . . 193 6.6.2 TheCaseofRealNormalOperators . . . . . . . . . 198 6.7 Polar Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Part II Infinite-Dimensional Vector Spaces 7 Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 7.1 The Question of Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 215 7.2 The Space of Square-Integrable Functions . . . . . . . . . 221 7.2.1 Orthogonal Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . 222 7.2.2 Orthogonal Polynomials and Least Squares . . . . . 225 7.3 Continuous Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 7.4 Generalized Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 7.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 8 Classical Orthogonal Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 241 8.1 General Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 8.2 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 8.3 Recurrence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 8.4 Details of Specific Examples . . . . . . . . . . . . . . . . 248 8.4.1 Hermite Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 248 8.4.2 Laguerre Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 249 8.4.3 Legendre Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 250 8.4.4 Other Classical Orthogonal Polynomials . . . . . . 252 8.5 Expansion in Terms of Orthogonal Polynomials . . . . . . 254 8.6 Generating Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 8.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 9 Fourier Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 9.1 FourierSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 9.1.1 The Gibbs Phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . 273 9.1.2 Fourier Series in Higher Dimensions . . . . . . . . 275 9.2 FourierTransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 9.2.1 FourierTransforms andDerivatives . . . . . . . . . 284 9.2.2 TheDiscreteFourierTransform . . . . . . . . . . . 286 9.2.3 FourierTransformof aDistribution . . . . . . . . . 287 9.3 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Part III Complex Analysis 10 Complex Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 10.1 Complex Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 10.2 Analytic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 10.3 ConformalMaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 10.4 Integration of Complex Functions . . . . . . . . . . . . . . 309 10.5 Derivatives as Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 10.6 InfiniteComplexSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 10.6.1 Properties of Series . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 10.6.2 Taylor andLaurentSeries . . . . . . . . . . . . . . 321 10.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 11 Calculus of Residues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 11.1 Residues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 11.2 Classification of Isolated Singularities . . . . . . . . . . . 342 11.3 EvaluationofDefinite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . 344 11.3.1 Integrals of Rational Functions . . . . . . . . . . . 345 11.3.2 Products of Rational and Trigonometric Functions . 348 11.3.3 Functions of Trigonometric Functions . . . . . . . 350 11.3.4 SomeOther Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 352 11.3.5 PrincipalValueof anIntegral . . . . . . . . . . . . 354 11.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 12 Advanced Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 12.1 Meromorphic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 12.2 Multivalued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 12.2.1 Riemann Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 12.3 AnalyticContinuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 12.3.1 The Schwarz Reflection Principle . . . . . . . . . . 374 12.3.2 DispersionRelations . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 12.4 The Gamma and Beta Functions . . . . . . . . . . . . . . . 378 12.5 Method of Steepest Descent . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 12.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 Part IV Differential Equations 13 Separation of Variables in Spherical Coordinates . . . . . . . 395 13.1 PDEsofMathematicalPhysics . . . . . . . . . . . . . . . 395 13.2 Separation of the Angular Part . . . . . . . . . . . . . . . . 398 13.3 Construction of Eigenvalues of L2 . . . . . . . . . . . . . . 401 13.4 Eigenvectors of L2: Spherical Harmonics . . . . . . . . . . 406 13.4.1 Expansion of Angular Functions . . . . . . . . . . 411 13.4.2 Addition Theorem for Spherical Harmonics . . . . 412 13.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 14 Second-Order Linear Differential Equations . . . . . . . . . . 417 14.1 General Properties of ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 14.2 Existence/Uniqueness for First-Order DEs . . . . . . . . . 419 14.3 General Properties of SOLDEs . . . . . . . . . . . . . . . 421 14.4 TheWronskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 14.4.1 A Second Solution to the HSOLDE . . . . . . . . . 426 14.4.2 The General Solution to an ISOLDE . . . . . . . . 428 14.4.3 Separation and Comparison Theorems . . . . . . . 430 14.5 AdjointDifferentialOperators . . . . . . . . . . . . . . . . 433 14.6 Power-SeriesSolutionsofSOLDEs . . . . . . . . . . . . . 436 14.6.1 Frobenius Method of Undetermined Coefficients . . 439 14.6.2 Quantum Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . 444 14.7 SOLDEswithConstantCoefficients . . . . . . . . . . . . 446 14.8 TheWKBMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 14.8.1 Classical Limit of the Schrödinger Equation . . . . 452 14.9 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 15 Complex Analysis of SOLDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 15.1 Analytic Properties of Complex DEs . . . . . . . . . . . . 460 15.1.1 ComplexFOLDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 15.1.2 TheCircuitMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 15.2 ComplexSOLDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 15.3 Fuchsian Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . 469 15.4 The Hypergeometric Function . . . . . . . . . . . . . . . . 473 15.5 Confluent Hypergeometric Functions . . . . . . . . . . . . 478 15.5.1 Hydrogen-Like Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . 480 15.5.2 Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 15.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 16 Integral Transforms and Differential Equations . . . . . . . . 493 16.1 Integral Representation of the Hypergeometric Function . . 494 16.1.1 Integral Representation of the Confluent Hypergeometric Function . . . . . . . . . . . . . . 497 16.2 Integral Representation of Bessel Functions . . . . . . . . . 498 16.2.1 Asymptotic Behavior of Bessel Functions . . . . . 502 16.3 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 Part V Operators on Hilbert Spaces 17 Introductory Operator Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 17.1 FromAbstract toIntegral andDifferentialOperators . . . . 511 17.2 Bounded Operators in Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . 513 17.2.1 Adjoints of Bounded Operators . . . . . . . . . . . 517 17.3 Spectra of Linear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 17.4 Compact Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 17.4.1 Compactness and Infinite Sequences . . . . . . . . 521 17.5 Compact Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 17.5.1 Spectrum of Compact Operators . . . . . . . . . . 527 17.6 Spectral Theorem for Compact Operators . . . . . . . . . . 527 17.6.1 Compact Hermitian Operator . . . . . . . . . . . . 529 17.6.2 Compact Normal Operator . . . . . . . . . . . . . 531 17.7 Resolvents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 17.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 18 Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 18.1 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 18.2 Fredholm Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 18.2.1 Hermitian Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552 18.2.2 Degenerate Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 18.3 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560 19 Sturm-Liouville Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 19.1 Compact-Resolvent Unbounded Operators . . . . . . . . . 563 19.2 Sturm-Liouville Systems and SOLDEs . . . . . . . . . . . 569 19.3 AsymptoticBehavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 19.3.1 LargeEigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 19.3.2 LargeArgument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577 19.4 Expansions in Terms of Eigenfunctions . . . . . . . . . . . 577 19.5 Separation in Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . 579 19.5.1 Rectangular Conducting Box . . . . . . . . . . . . 579 19.5.2 Heat Conduction in a Rectangular Plate . . . . . . . 581 19.5.3 Quantum Particle in a Box . . . . . . . . . . . . . . 582 19.5.4 WaveGuides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 19.6 Separation in Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . 586 19.6.1 Conducting Cylindrical Can . . . . . . . . . . . . . 586 19.6.2 CylindricalWaveGuide . . . . . . . . . . . . . . . 588 19.6.3 CurrentDistributioninaCircularWire . . . . . . . 589 19.7 Separation in Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . 590 19.7.1 Radial Part of Laplace’s Equation . . . . . . . . . . 591 19.7.2 Helmholtz Equation in Spherical Coordinates . . . 593 19.7.3 Quantum Particle in a Hard Sphere . . . . . . . . . 593 19.7.4 Plane Wave Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . 594 19.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595 Part VI Green’s Functions 20 Green’s Functions in One Dimension . . . . . . . . . . . . . . 605 20.1 Calculation of Some Green’s Functions . . . . . . . . . . . 606 20.2 FormalConsiderations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610 20.2.1 Second-Order Linear DOs . . . . . . . . . . . . . . 614 20.2.2 Self-adjointSOLDOs . . . . . . . . . . . . . . . . 616 20.3 Green’s Functions for SOLDOs . . . . . . . . . . . . . . . 617 20.3.1 Properties of Green’s Functions . . . . . . . . . . . 619 20.3.2 Construction and Uniqueness of Green’s Functions . 621 20.3.3 Inhomogeneous BCs . . . . . . . . . . . . . . . . . 626 20.4 Eigenfunction Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630 20.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632 21 Multidimensional Green’s Functions: Formalism . . . . . . . 635 21.1 Properties of Partial Differential Equations . . . . . . . . . 635 21.1.1 Characteristic Hypersurfaces . . . . . . . . . . . . 636 21.1.2 Second-Order PDEs in mDimensions . . . . . . . 640 21.2 Multidimensional GFs and Delta Functions . . . . . . . . . 643 21.2.1 Spherical Coordinates in mDimensions . . . . . . 645 21.2.2 Green’s Function for the Laplacian . . . . . . . . . 647 21.3 FormalDevelopment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 21.3.1 General Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 21.3.2 Fundamental (Singular) Solutions . . . . . . . . . . 649 21.4 IntegralEquations andGFs . . . . . . . . . . . . . . . . . 652 21.5 Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655 21.5.1 The Nondegenerate Case . . . . . . . . . . . . . . 659 21.5.2 The Degenerate Case . . . . . . . . . . . . . . . . 660 21.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661 22 Multidimensional Green’s Functions: Applications . . . . . . 665 22.1 Elliptic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665 22.1.1 The Dirichlet Boundary Value Problem . . . . . . . 665 22.1.2 The Neumann Boundary Value Problem . . . . . . 671 22.2 ParabolicEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673 22.3 Hyperbolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678 22.4 The Fourier Transform Technique . . . . . . . . . . . . . . 680 22.4.1 GF for the m-Dimensional Laplacian . . . . . . . . 681 22.4.2 GF for the m-Dimensional Helmholtz Operator . . . 682 22.4.3 GF for the m-Dimensional Diffusion Operator . . . 684 22.4.4 GF for the m-Dimensional Wave Equation . . . . . 685 22.5 The Eigenfunction Expansion Technique . . . . . . . . . . 688 22.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693 Part VII Groups and Their Representations 23 Group Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701 23.1 Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702 23.2 Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 23.2.1 Direct Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712 23.3 GroupAction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713 23.4 The Symmetric Group Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715 23.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720 24 Representation of Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725 24.1 Definitions andExamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725 24.2 Irreducible Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . 728 24.3 Orthogonality Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732 24.4 AnalysisofRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . 737 24.5 Group Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740 24.5.1 Group Algebra and Representations . . . . . . . . . 740 24.6 Relationship of Characters to Those of a Subgroup . . . . . 743 24.7 Irreducible Basis Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 746 24.8 Tensor Product of Representations . . . . . . . . . . . . . 750 24.8.1 Clebsch-Gordan Decomposition . . . . . . . . . . . 753 24.8.2 Irreducible Tensor Operators . . . . . . . . . . . . 756 24.9 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758 25 Representations of the Symmetric Group . . . . . . . . . . . 761 25.1 AnalyticConstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761 25.2 Graphical Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764 25.3 Graphical Construction of Characters . . . . . . . . . . . . 767 25.4 Young Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771 25.5 Products of Representations of Sn . . . . . . . . . . . . . . 774 25.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776 Part VIII Tensors and Manifolds 26 Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781 26.1 Tensors as Multilinear Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . 782 26.2 SymmetriesofTensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789 26.3 Exterior Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794 26.3.1 Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 800 26.4 Symplectic Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801 26.5 Inner Product Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804 26.5.1 Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809 26.5.2 Orthonormal Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812 26.5.3 Inner Product on Λp(V,U) . . . . . . . . . . . . . 819 26.6 The Hodge Star Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 820 26.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823 27 Clifford Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829 27.1 Construction of Clifford Algebras . . . . . . . . . . . . . . 830 27.1.1 TheDiracEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . 832 27.2 General Properties of the Clifford Algebra . . . . . . . . . 834 27.2.1 Homomorphism with Other Algebras . . . . . . . . 837 27.2.2 The Canonical Element . . . . . . . . . . . . . . . 838 27.2.3 Center and Anticenter . . . . . . . . . . . . . . . . 839 27.2.4 Isomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842 27.3 General Classification of Clifford Algebras . . . . . . . . . 843 27.4 The Clifford Algebras Cν μ(R) . . . . . . . . . . . . . . . . 846 27.4.1 Classification of C0 n(R) and Cn0 (R) . . . . . . . . . 849 27.4.2 Classification of Cν μ(R) . . . . . . . . . . . . . . . 851 27.4.3 The Algebra C13 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 852 27.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856 28 Analysis of Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859 28.1 DifferentiableManifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859 28.2 Curves and Tangent Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . 866 28.3 Differentialof aMap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872 28.4 TensorFieldsonManifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . 876 28.4.1 VectorFields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877 28.4.2 TensorFields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882 28.5 ExteriorCalculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888 28.6 IntegrationonManifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897 28.7 SymplecticGeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901 28.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909 Part IX Lie Groups and Their Applications 29 Lie Groups and Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915 29.1 Lie Groups and Their Algebras . . . . . . . . . . . . . . . 915 29.1.1 GroupAction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917 29.1.2 Lie Algebra of a Lie Group . . . . . . . . . . . . . 920 29.1.3 InvariantForms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927 29.1.4 InfinitesimalAction . . . . . . . . . . . . . . . . . 928 29.1.5 Integration on Lie Groups . . . . . . . . . . . . . . 935 29.2 An Outline of Lie Algebra Theory . . . . . . . . . . . . . . 936 29.2.1 The Lie Algebras o(p, n−p) and p(p, n −p) . . . 940 29.2.2 Operations on Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . 944 29.3 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948 30 Representation of Lie Groups and Lie Algebras . . . . . . . . 953 30.1 Representation of Compact Lie Groups . . . . . . . . . . . 953 30.2 Representation of the General Linear Group . . . . . . . . 963 30.3 Representation of Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . 966 30.3.1 Representation of Subgroups of GL(V) . . . . . . . 967 30.3.2 CasimirOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969 30.3.3 Representation of so(3) and so(3, 1) . . . . . . . . 972 30.3.4 Representation of the Poincaré Algebra . . . . . . . 975 30.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983 31 Representation of Clifford Algebras . . . . . . . . . . . . . . 987 31.1 TheCliffordGroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987 31.2 Spinors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995 31.2.1 PauliSpinMatrices andSpinors . . . . . . . . . . . 997 31.2.2 Spinors for Cν μ(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001 31.2.3 C13 (R)Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004 31.3 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006 32 Lie Groups and Differential Equations . . . . . . . . . . . . . 1009 32.1 Symmetries of Algebraic Equations . . . . . . . . . . . . . 1009 32.2 Symmetry Groups of Differential Equations . . . . . . . . 1014 32.2.1 Prolongation of Functions . . . . . . . . . . . . . . 1017 32.2.2 Prolongation of Groups . . . . . . . . . . . . . . . 1021 32.2.3 ProlongationofVectorFields . . . . . . . . . . . . 1022 32.3 The Central Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024 32.4 ApplicationtoSomeKnownPDEs . . . . . . . . . . . . . 1029 32.4.1 TheHeatEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1030 32.4.2 TheWaveEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034 32.5 ApplicationtoODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037 32.5.1 First-OrderODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037 32.5.2 Higher-Order ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039 32.5.3 DEswithMultiparameterSymmetries . . . . . . . 1040 32.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043 33 Calculus of Variations, Symmetries, and Conservation Laws . 1047 33.1 TheCalculusofVariations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047 33.1.1 Derivative for Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . 1047 33.1.2 Functional Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . 1050 33.1.3 Variational Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053 33.1.4 Divergence and Null Lagrangians . . . . . . . . . . 1060 33.2 Symmetry Groups of Variational Problems . . . . . . . . . 1062 33.3 Conservation Laws and Noether’s Theorem . . . . . . . . . 1065 33.4 Application to Classical Field Theory . . . . . . . . . . . . 1069 33.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073 Part X Fiber Bundles 34 Fiber Bundles and Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079 34.1 Principal Fiber Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079 34.1.1 Associated Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084 34.2 Connections in a PFB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086 34.2.1 Local Expression for a Connection . . . . . . . . . 1087 34.2.2 Parallelism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089 34.3 CurvatureForm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091 34.3.1 Flat Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095 34.3.2 MatrixStructureGroup . . . . . . . . . . . . . . . 1096 34.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097 35 Gauge Theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099 35.1 Gauge Potentials and Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099 35.1.1 ParticleFields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101 35.1.2 Gauge Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . 1102 35.2 Gauge-Invariant Lagrangians . . . . . . . . . . . . . . . . 1105 35.3 Construction of Gauge-Invariant Lagrangians . . . . . . . . 1107 35.4 Local Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112 35.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115 36 Differential Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117 36.1 Connections in a Vector Bundle . . . . . . . . . . . . . . . 1117 36.2 Linear Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1120 36.2.1 CovariantDerivativeofTensorFields . . . . . . . . 1123 36.2.2 From Forms on P to Tensor Fields on M . . . . . . 1125 36.2.3 Component Expressions . . . . . . . . . . . . . . . 1128 36.2.4 General Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132 36.3 Geodesics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137 36.3.1 RiemannNormalCoordinates . . . . . . . . . . . . 1138 36.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1140 37 Riemannian Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143 37.1 The Metric Connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143 37.1.1 Orthogonal Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148 37.2 Isometries and Killing Vector Fields . . . . . . . . . . . . . 1155 37.3 Geodesic Deviation and Curvature . . . . . . . . . . . . . 1159 37.3.1 NewtonianGravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161 37.4 General Theory of Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . 1163 37.4.1 Einstein’sEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163 37.4.2 Static Spherically Symmetric Solutions . . . . . . . 1167 37.4.3 Schwarzschild Geodesics . . . . . . . . . . . . . . 1169 37.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1181 |
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