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maojun1998

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【Mathematical Physics 】【Sadri Hassani】【已搜索，無(wú)置重】

Contents
1 Mathematical Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Mathematical Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Part I Finite-Dimensional Vector Spaces
2 Vectors and Linear Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1 Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2 Factor Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.3 DirectSums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.4 Tensor Product of Vector Spaces . . . . . . . . . . 28
2.2 Inner Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 The Gram-Schmidt Process . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.3 The Schwarz Inequality . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.4 Length of a Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Linear Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 Kernel of a Linear Map . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2 Linear Isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 ComplexStructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Linear Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6 Multilinear Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6.1 Determinant of a Linear Operator . . . . . . . . . . 55
2.6.2 ClassicalAdjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1 From Vector Space to Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.1 General Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.1.2 Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2 Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.1 Factor Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
xix3.3 Total Matrix Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4 Derivation of an Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5 Decomposition of Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.5.1 TheRadical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.5.2 Semi-simple Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5.3 Classification of Simple Algebras . . . . . . . . . . 92
3.6 Polynomial Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4 Operator Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1 Algebra of End(V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1.1 Polynomials of Operators . . . . . . . . . . . . . . 102
4.1.2 Functions of Operators . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.1.3 Commutators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2 DerivativesofOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3 ConjugationofOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.3.1 Hermitian Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3.2 UnitaryOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.4 Idempotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.4.1 ProjectionOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.5 Representation of Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.1 RepresentingVectors andOperators . . . . . . . . . . . . . 137
5.2 OperationsonMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.3 Orthonormal Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.4 Change of Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.5 Determinant of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.5.1 Matrixof theClassicalAdjoint . . . . . . . . . . . 152
5.5.2 Inverseof aMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.5.3 Dual Determinant Function . . . . . . . . . . . . . 158
5.6 TheTrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6 Spectral Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.1 Invariant Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.2 Eigenvalues andEigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.3 Upper-Triangular Representations . . . . . . . . . . . . . . 175
6.4 Complex Spectral Decomposition . . . . . . . . . . . . . . 177
6.4.1 Simultaneous Diagonalization . . . . . . . . . . . . 185
6.5 Functions of Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.6 Real Spectral Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.6.1 TheCaseofSymmetricOperators . . . . . . . . . . 193
6.6.2 TheCaseofRealNormalOperators . . . . . . . . . 198
6.7 Polar Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Part II Infinite-Dimensional Vector Spaces
7 Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.1 The Question of Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.2 The Space of Square-Integrable Functions . . . . . . . . . 221
7.2.1 Orthogonal Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.2.2 Orthogonal Polynomials and Least Squares . . . . . 225
7.3 Continuous Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
7.4 Generalized Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
7.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
8 Classical Orthogonal Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.1 General Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.2 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.3 Recurrence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.4 Details of Specific Examples . . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.4.1 Hermite Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.4.2 Laguerre Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 249
8.4.3 Legendre Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 250
8.4.4 Other Classical Orthogonal Polynomials . . . . . . 252
8.5 Expansion in Terms of Orthogonal Polynomials . . . . . . 254
8.6 Generating Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
9 Fourier Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
9.1 FourierSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
9.1.1 The Gibbs Phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . 273
9.1.2 Fourier Series in Higher Dimensions . . . . . . . . 275
9.2 FourierTransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
9.2.1 FourierTransforms andDerivatives . . . . . . . . . 284
9.2.2 TheDiscreteFourierTransform . . . . . . . . . . . 286
9.2.3 FourierTransformof aDistribution . . . . . . . . . 287
9.3 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Part III Complex Analysis
10 Complex Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10.1 Complex Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10.2 Analytic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
10.3 ConformalMaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
10.4 Integration of Complex Functions . . . . . . . . . . . . . . 309
10.5 Derivatives as Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
10.6 InfiniteComplexSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
10.6.1 Properties of Series . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
10.6.2 Taylor andLaurentSeries . . . . . . . . . . . . . . 321
10.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
11 Calculus of Residues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
11.1 Residues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
11.2 Classification of Isolated Singularities . . . . . . . . . . . 342
11.3 EvaluationofDefinite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . 344
11.3.1 Integrals of Rational Functions . . . . . . . . . . . 345
11.3.2 Products of Rational and Trigonometric Functions . 348
11.3.3 Functions of Trigonometric Functions . . . . . . . 350
11.3.4 SomeOther Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 352
11.3.5 PrincipalValueof anIntegral . . . . . . . . . . . . 354
11.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
12 Advanced Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
12.1 Meromorphic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
12.2 Multivalued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
12.2.1 Riemann Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
12.3 AnalyticContinuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
12.3.1 The Schwarz Reflection Principle . . . . . . . . . . 374
12.3.2 DispersionRelations . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
12.4 The Gamma and Beta Functions . . . . . . . . . . . . . . . 378
12.5 Method of Steepest Descent . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
12.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
Part IV Differential Equations
13 Separation of Variables in Spherical Coordinates . . . . . . . 395
13.1 PDEsofMathematicalPhysics . . . . . . . . . . . . . . . 395
13.2 Separation of the Angular Part . . . . . . . . . . . . . . . . 398
13.3 Construction of Eigenvalues of L2 . . . . . . . . . . . . . . 401
13.4 Eigenvectors of L2: Spherical Harmonics . . . . . . . . . . 406
13.4.1 Expansion of Angular Functions . . . . . . . . . . 411
13.4.2 Addition Theorem for Spherical Harmonics . . . . 412
13.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
14 Second-Order Linear Differential Equations . . . . . . . . . . 417
14.1 General Properties of ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
14.2 Existence/Uniqueness for First-Order DEs . . . . . . . . . 419
14.3 General Properties of SOLDEs . . . . . . . . . . . . . . . 421
14.4 TheWronskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
14.4.1 A Second Solution to the HSOLDE . . . . . . . . . 426
14.4.2 The General Solution to an ISOLDE . . . . . . . . 428
14.4.3 Separation and Comparison Theorems . . . . . . . 430
14.5 AdjointDifferentialOperators . . . . . . . . . . . . . . . . 433
14.6 Power-SeriesSolutionsofSOLDEs . . . . . . . . . . . . . 436
14.6.1 Frobenius Method of Undetermined Coefficients . . 439
14.6.2 Quantum Harmonic Oscillator . . . . . . . . . . . . 444
14.7 SOLDEswithConstantCoefficients . . . . . . . . . . . . 446
14.8 TheWKBMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
14.8.1 Classical Limit of the Schrödinger Equation . . . . 452
14.9 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
15 Complex Analysis of SOLDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
15.1 Analytic Properties of Complex DEs . . . . . . . . . . . . 460
15.1.1 ComplexFOLDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
15.1.2 TheCircuitMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
15.2 ComplexSOLDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
15.3 Fuchsian Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . 469
15.4 The Hypergeometric Function . . . . . . . . . . . . . . . . 473
15.5 Confluent Hypergeometric Functions . . . . . . . . . . . . 478
15.5.1 Hydrogen-Like Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . 480
15.5.2 Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
15.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
16 Integral Transforms and Differential Equations . . . . . . . . 493
16.1 Integral Representation of the Hypergeometric Function . . 494
16.1.1 Integral Representation of the Confluent
Hypergeometric Function . . . . . . . . . . . . . . 497
16.2 Integral Representation of Bessel Functions . . . . . . . . . 498
16.2.1 Asymptotic Behavior of Bessel Functions . . . . . 502
16.3 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
Part V Operators on Hilbert Spaces
17 Introductory Operator Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
17.1 FromAbstract toIntegral andDifferentialOperators . . . . 511
17.2 Bounded Operators in Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . 513
17.2.1 Adjoints of Bounded Operators . . . . . . . . . . . 517
17.3 Spectra of Linear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
17.4 Compact Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
17.4.1 Compactness and Infinite Sequences . . . . . . . . 521
17.5 Compact Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
17.5.1 Spectrum of Compact Operators . . . . . . . . . . 527
17.6 Spectral Theorem for Compact Operators . . . . . . . . . . 527
17.6.1 Compact Hermitian Operator . . . . . . . . . . . . 529
17.6.2 Compact Normal Operator . . . . . . . . . . . . . 531
17.7 Resolvents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
17.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
18 Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
18.1 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
18.2 Fredholm Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
18.2.1 Hermitian Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
18.2.2 Degenerate Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
18.3 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
19 Sturm-Liouville Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
19.1 Compact-Resolvent Unbounded Operators . . . . . . . . . 563
19.2 Sturm-Liouville Systems and SOLDEs . . . . . . . . . . . 569
19.3 AsymptoticBehavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
19.3.1 LargeEigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
19.3.2 LargeArgument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
19.4 Expansions in Terms of Eigenfunctions . . . . . . . . . . . 577
19.5 Separation in Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . 579
19.5.1 Rectangular Conducting Box . . . . . . . . . . . . 579
19.5.2 Heat Conduction in a Rectangular Plate . . . . . . . 581
19.5.3 Quantum Particle in a Box . . . . . . . . . . . . . . 582
19.5.4 WaveGuides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
19.6 Separation in Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . 586
19.6.1 Conducting Cylindrical Can . . . . . . . . . . . . . 586
19.6.2 CylindricalWaveGuide . . . . . . . . . . . . . . . 588
19.6.3 CurrentDistributioninaCircularWire . . . . . . . 589
19.7 Separation in Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . 590
19.7.1 Radial Part of Laplace’s Equation . . . . . . . . . . 591
19.7.2 Helmholtz Equation in Spherical Coordinates . . . 593
19.7.3 Quantum Particle in a Hard Sphere . . . . . . . . . 593
19.7.4 Plane Wave Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . 594
19.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
Part VI Green’s Functions
20 Green’s Functions in One Dimension . . . . . . . . . . . . . . 605
20.1 Calculation of Some Green’s Functions . . . . . . . . . . . 606
20.2 FormalConsiderations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
20.2.1 Second-Order Linear DOs . . . . . . . . . . . . . . 614
20.2.2 Self-adjointSOLDOs . . . . . . . . . . . . . . . . 616
20.3 Green’s Functions for SOLDOs . . . . . . . . . . . . . . . 617
20.3.1 Properties of Green’s Functions . . . . . . . . . . . 619
20.3.2 Construction and Uniqueness of Green’s Functions . 621
20.3.3 Inhomogeneous BCs . . . . . . . . . . . . . . . . . 626
20.4 Eigenfunction Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630
20.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
21 Multidimensional Green’s Functions: Formalism . . . . . . . 635
21.1 Properties of Partial Differential Equations . . . . . . . . . 635
21.1.1 Characteristic Hypersurfaces . . . . . . . . . . . . 636
21.1.2 Second-Order PDEs in mDimensions . . . . . . . 640
21.2 Multidimensional GFs and Delta Functions . . . . . . . . . 643
21.2.1 Spherical Coordinates in mDimensions . . . . . . 645
21.2.2 Green’s Function for the Laplacian . . . . . . . . . 647
21.3 FormalDevelopment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648
21.3.1 General Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648
21.3.2 Fundamental (Singular) Solutions . . . . . . . . . . 649
21.4 IntegralEquations andGFs . . . . . . . . . . . . . . . . . 652
21.5 Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
21.5.1 The Nondegenerate Case . . . . . . . . . . . . . . 659
21.5.2 The Degenerate Case . . . . . . . . . . . . . . . . 660
21.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661
22 Multidimensional Green’s Functions: Applications . . . . . . 665
22.1 Elliptic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665
22.1.1 The Dirichlet Boundary Value Problem . . . . . . . 665
22.1.2 The Neumann Boundary Value Problem . . . . . . 671
22.2 ParabolicEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
22.3 Hyperbolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678
22.4 The Fourier Transform Technique . . . . . . . . . . . . . . 680
22.4.1 GF for the m-Dimensional Laplacian . . . . . . . . 681
22.4.2 GF for the m-Dimensional Helmholtz Operator . . . 682
22.4.3 GF for the m-Dimensional Diffusion Operator . . . 684
22.4.4 GF for the m-Dimensional Wave Equation . . . . . 685
22.5 The Eigenfunction Expansion Technique . . . . . . . . . . 688
22.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693
Part VII Groups and Their Representations
23 Group Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701
23.1 Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702
23.2 Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
23.2.1 Direct Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712
23.3 GroupAction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713
23.4 The Symmetric Group Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715
23.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720
24 Representation of Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725
24.1 Definitions andExamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725
24.2 Irreducible Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . 728
24.3 Orthogonality Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732
24.4 AnalysisofRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . 737
24.5 Group Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740
24.5.1 Group Algebra and Representations . . . . . . . . . 740
24.6 Relationship of Characters to Those of a Subgroup . . . . . 743
24.7 Irreducible Basis Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 746
24.8 Tensor Product of Representations . . . . . . . . . . . . . 750
24.8.1 Clebsch-Gordan Decomposition . . . . . . . . . . . 753
24.8.2 Irreducible Tensor Operators . . . . . . . . . . . . 756
24.9 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758
25 Representations of the Symmetric Group . . . . . . . . . . . 761
25.1 AnalyticConstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761
25.2 Graphical Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764
25.3 Graphical Construction of Characters . . . . . . . . . . . . 767
25.4 Young Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771
25.5 Products of Representations of Sn . . . . . . . . . . . . . . 774
25.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776
Part VIII Tensors and Manifolds
26 Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781
26.1 Tensors as Multilinear Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . 782
26.2 SymmetriesofTensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789
26.3 Exterior Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794
26.3.1 Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 800
26.4 Symplectic Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801
26.5 Inner Product Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804
26.5.1 Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809
26.5.2 Orthonormal Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812
26.5.3 Inner Product on Λp(V,U) . . . . . . . . . . . . . 819
26.6 The Hodge Star Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 820
26.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823
27 Clifford Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829
27.1 Construction of Clifford Algebras . . . . . . . . . . . . . . 830
27.1.1 TheDiracEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . 832
27.2 General Properties of the Clifford Algebra . . . . . . . . . 834
27.2.1 Homomorphism with Other Algebras . . . . . . . . 837
27.2.2 The Canonical Element . . . . . . . . . . . . . . . 838
27.2.3 Center and Anticenter . . . . . . . . . . . . . . . . 839
27.2.4 Isomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842
27.3 General Classification of Clifford Algebras . . . . . . . . . 843
27.4 The Clifford Algebras Cν
μ(R) . . . . . . . . . . . . . . . . 846
27.4.1 Classification of C0
n(R) and Cn0
(R) . . . . . . . . . 849
27.4.2 Classification of Cν
μ(R) . . . . . . . . . . . . . . . 851
27.4.3 The Algebra C13
(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 852
27.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856
28 Analysis of Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859
28.1 DifferentiableManifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859
28.2 Curves and Tangent Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . 866
28.3 Differentialof aMap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872
28.4 TensorFieldsonManifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . 876
28.4.1 VectorFields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877
28.4.2 TensorFields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882
28.5 ExteriorCalculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888
28.6 IntegrationonManifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897
28.7 SymplecticGeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901
28.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909
Part IX Lie Groups and Their Applications
29 Lie Groups and Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915
29.1 Lie Groups and Their Algebras . . . . . . . . . . . . . . . 915
29.1.1 GroupAction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917
29.1.2 Lie Algebra of a Lie Group . . . . . . . . . . . . . 920
29.1.3 InvariantForms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927
29.1.4 InfinitesimalAction . . . . . . . . . . . . . . . . . 928
29.1.5 Integration on Lie Groups . . . . . . . . . . . . . . 935
29.2 An Outline of Lie Algebra Theory . . . . . . . . . . . . . . 936
29.2.1 The Lie Algebras o(p, n−p) and p(p, n −p) . . . 940
29.2.2 Operations on Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . 944
29.3 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948
30 Representation of Lie Groups and Lie Algebras . . . . . . . . 953
30.1 Representation of Compact Lie Groups . . . . . . . . . . . 953
30.2 Representation of the General Linear Group . . . . . . . . 963
30.3 Representation of Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . 966
30.3.1 Representation of Subgroups of GL(V) . . . . . . . 967
30.3.2 CasimirOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969
30.3.3 Representation of so(3) and so(3, 1) . . . . . . . . 972
30.3.4 Representation of the Poincaré Algebra . . . . . . . 975
30.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983
31 Representation of Clifford Algebras . . . . . . . . . . . . . . 987
31.1 TheCliffordGroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987
31.2 Spinors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995
31.2.1 PauliSpinMatrices andSpinors . . . . . . . . . . . 997
31.2.2 Spinors for Cν
μ(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001
31.2.3 C13
(R)Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004
31.3 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006
32 Lie Groups and Differential Equations . . . . . . . . . . . . . 1009
32.1 Symmetries of Algebraic Equations . . . . . . . . . . . . . 1009
32.2 Symmetry Groups of Differential Equations . . . . . . . . 1014
32.2.1 Prolongation of Functions . . . . . . . . . . . . . . 1017
32.2.2 Prolongation of Groups . . . . . . . . . . . . . . . 1021
32.2.3 ProlongationofVectorFields . . . . . . . . . . . . 1022
32.3 The Central Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024
32.4 ApplicationtoSomeKnownPDEs . . . . . . . . . . . . . 1029
32.4.1 TheHeatEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1030
32.4.2 TheWaveEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034
32.5 ApplicationtoODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037
32.5.1 First-OrderODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037
32.5.2 Higher-Order ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039
32.5.3 DEswithMultiparameterSymmetries . . . . . . . 1040
32.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043
33 Calculus of Variations, Symmetries, and Conservation Laws . 1047
33.1 TheCalculusofVariations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047
33.1.1 Derivative for Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . 1047
33.1.2 Functional Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . 1050
33.1.3 Variational Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053
33.1.4 Divergence and Null Lagrangians . . . . . . . . . . 1060
33.2 Symmetry Groups of Variational Problems . . . . . . . . . 1062
33.3 Conservation Laws and Noether’s Theorem . . . . . . . . . 1065
33.4 Application to Classical Field Theory . . . . . . . . . . . . 1069
33.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073
Part X Fiber Bundles
34 Fiber Bundles and Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079
34.1 Principal Fiber Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079
34.1.1 Associated Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084
34.2 Connections in a PFB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086
34.2.1 Local Expression for a Connection . . . . . . . . . 1087
34.2.2 Parallelism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089
34.3 CurvatureForm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091
34.3.1 Flat Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095
34.3.2 MatrixStructureGroup . . . . . . . . . . . . . . . 1096
34.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097
35 Gauge Theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099
35.1 Gauge Potentials and Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099
35.1.1 ParticleFields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101
35.1.2 Gauge Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . 1102
35.2 Gauge-Invariant Lagrangians . . . . . . . . . . . . . . . . 1105
35.3 Construction of Gauge-Invariant Lagrangians . . . . . . . . 1107
35.4 Local Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112
35.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115
36 Differential Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117
36.1 Connections in a Vector Bundle . . . . . . . . . . . . . . . 1117
36.2 Linear Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1120
36.2.1 CovariantDerivativeofTensorFields . . . . . . . . 1123
36.2.2 From Forms on P to Tensor Fields on M . . . . . . 1125
36.2.3 Component Expressions . . . . . . . . . . . . . . . 1128
36.2.4 General Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132
36.3 Geodesics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137
36.3.1 RiemannNormalCoordinates . . . . . . . . . . . . 1138
36.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1140
37 Riemannian Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143
37.1 The Metric Connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143
37.1.1 Orthogonal Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148
37.2 Isometries and Killing Vector Fields . . . . . . . . . . . . . 1155
37.3 Geodesic Deviation and Curvature . . . . . . . . . . . . . 1159
37.3.1 NewtonianGravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161
37.4 General Theory of Relativity . . . . . . . . . . . . . . . . 1163
37.4.1 Einstein’sEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163
37.4.2 Static Spherically Symmetric Solutions . . . . . . . 1167
37.4.3 Schwarzschild Geodesics . . . . . . . . . . . . . . 1169
37.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179
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