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本帖產(chǎn)生 1 個數(shù)學EPI ，點擊這里進行查看

i維數(shù)

木蟲 (正式寫手)

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專業(yè): 偏微分方程

[求助] 請問這兩個極限怎么算？

謝謝各位了！

極限1.jpg

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1樓 2016-02-06 02:17:35

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i維數(shù)

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【答案】應助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
Edstrayer: 金幣+10, 數(shù)學EPI+1, 很好很細致的解答 2016-04-01 10:28:43

第二題已解決，見圖

極限.png

組合恒等式1.png

組合恒等式2.png

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17樓2016-03-30 01:30:40

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hank612

至尊木蟲 (著名寫手)

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專業(yè): 理論和計算化學

如圖所示，求和可以套用Euler-Maclaurin公式， Mathematica 給出了許多項，其中與n的冪次有關的項可以直接給出，只是常數(shù)項我算不出來 $\zeta(-1/2)$ 或者你給出的 $-\frac{\zeta(3/2)}{4\pi}$ .

樓主可以單獨開一個帖子，證明關于zeta函數(shù)特殊值用Bernoulli 數(shù)的級數(shù)表示的。

series square root expansion at infinity.png

Euler Maclaurin summation formula.png

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We_must_know. We_will_know.

18樓2016-05-18 09:40:24

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hank612

至尊木蟲 (著名寫手)

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引用回帖:

18樓: Originally posted by hank612 at 2016-05-18 09:40:24
如圖所示，求和可以套用Euler-Maclaurin公式， Mathematica 給出了許多項，其中與n的冪次有關的項可以直接給出，只是常數(shù)項我算不出來\zeta(-1/2)或者你給出的-\frac{\zeta(3/2)}{4\pi}.

樓主可以單獨開一個帖 ...

網(wǎng)上搜了一下，發(fā)現(xiàn)最自然的方法來自 Riemann zeta函數(shù)的 asymptotic expansion, 見圖
直接取s=-1/2就是了。

另外， $\zeta(-\frac{1}{2})=-\frac{\zeta(\frac{3}{2})}{4\pi}$ 直接由函數(shù)方程看出
$\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin{\frac{s\pi}{2}}\Gamma(1-s)\zeta(1-s)$ . (同樣取s=-1/2就是了)

至于漸進式和函數(shù)方程的證明，那是鋪天蓋地的多文獻，就不羅嗦了。

Emuch031.png

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We_must_know. We_will_know.

19樓2016-05-18 12:15:43

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szuwusongbin

木蟲 (正式寫手)

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第一個算積分吧

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2樓2016-02-06 05:39:47

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2樓: Originally posted by szuwusongbin at 2016-02-06 05:39:47
第一個算積分吧

可否詳細說說，謝了

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3樓2016-02-06 13:32:35

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szuwusongbin

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怎么感覺有點數(shù)學競賽的味道

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4樓2016-02-06 13:45:02

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我擦zeta函數(shù)都出來了啊

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5樓2016-02-06 13:45:58

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5樓: Originally posted by szuwusongbin at 2016-02-06 13:45:58
我擦zeta函數(shù)都出來了啊

請問用積分怎么算呢？

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6樓2016-02-06 13:59:34

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szuwusongbin

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我試試不一定算得出來。

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7樓2016-02-06 14:14:03

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7樓: Originally posted by szuwusongbin at 2016-02-06 14:14:03
我試試不一定算得出來。

好的，謝謝你

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8樓2016-02-06 14:16:54

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哇很難啊沒算出來

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9樓2016-02-06 17:26:05

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9樓: Originally posted by szuwusongbin at 2016-02-06 17:26:05
哇很難啊沒算出來

沒事，麻煩你了

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10樓2016-02-06 17:32:46

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