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[求助] 求助兩道不等式

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第一個(gè)不等式中的n從幾開(kāi)始啊？x=0時(shí)好像不等式不成立�。�

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2樓2016-02-17 03:50:53

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2樓: Originally posted by Edstrayer at 2016-02-17 03:50:53
第一個(gè)不等式中的n從幾開(kāi)始�。縳=0時(shí)好像不等式不成立�。�

額。。好像題目是有點(diǎn)小問(wèn)題，應(yīng)該x不為0，或者可以看成極限，n=0,1,2,...

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3樓2016-02-17 11:02:57

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3樓: Originally posted by i維數(shù) at 2016-02-17 11:02:57
額。。好像題目是有點(diǎn)小問(wèn)題，應(yīng)該x不為0，或者可以看成極限，n=0,1,2,......

看成極限也不成立�。ㄈ≈捣秶诘袅泓c(diǎn)也不對(duì)）
從n的取值可以看出級(jí)數(shù)中有一項(xiàng)是 $\frac{1}{x^2}$ ，當(dāng) $x\to 0+\quad\text{or}\quad x\to 0-$ 級(jí)數(shù)都趨于無(wú)窮大，而不等式右邊在這個(gè)極限過(guò)程中是趨于1的，是一個(gè)有界量，不等式肯定不成立

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4樓2016-02-17 14:53:19

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4樓: Originally posted by Edstrayer at 2016-02-17 14:53:19
看成極限也不成立�。ㄈ≈捣秶诘袅泓c(diǎn)也不對(duì)）
從n的取值可以看出級(jí)數(shù)中有一項(xiàng)是\frac{1}{x^2}，當(dāng)x\to 0+\quad\text{or}\quad x\to 0-級(jí)數(shù)都趨于無(wú)窮大，而不等式右邊在這個(gè)極限過(guò)程中是趨于1的，是一個(gè)有界量， ...

額。。那個(gè)是(1/sinx)^2,不是(cosx)^2

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5樓2016-02-17 15:12:00

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5樓: Originally posted by i維數(shù) at 2016-02-17 15:12:00
額。。那個(gè)是(1/sinx)^2,不是(cosx)^2...

不好意思，看錯(cuò)了

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6樓2016-02-17 17:38:48

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右邊的不等式可以通過(guò)下式得到：

$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{(x+n\pi)^2}=\frac{1}{\sin^2x}=\csc^2x(0<|x|\leqslant\frac{\pi}{2})$

而上式可以通過(guò)計(jì)算函數(shù) $f(z)=\frac{\pi\cot\pi z}{(u+z)^2}$ 在圓域 $|z|=N+\frac{1}{2}$ （這里N是自然數(shù)， $N\geqslant|u|$ ）上的積分，加上圓內(nèi)部的f的留數(shù)，然后令N趨向無(wú)窮得到。

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7樓2016-02-18 00:02:20

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7樓: Originally posted by Edstrayer at 2016-02-18 00:02:20
右邊的不等式可以通過(guò)下式得到：
\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{(x+n\pi)^2}=\frac{1}{\sin^2x}=\csc^2x
而上式可以通過(guò)計(jì)算函數(shù)f(z)=\frac{\pi\cot\pi z}{(u+z)^2}在圓域|z|=N+\frac{1}{2}（這里N是自然數(shù) ...

看不懂。。。有沒(méi)有初等一點(diǎn)的證法呢？

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8樓2016-02-18 00:07:39

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8樓: Originally posted by i維數(shù) at 2016-02-18 00:07:39
看不懂。。。有沒(méi)有初等一點(diǎn)的證法呢？...

這是通過(guò)留數(shù)定理計(jì)算反常積分的方法證明的，初等的證明方法還沒(méi)有想到，我試試看看能不能想到更初等的證明方法，…………

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9樓2016-02-18 00:10:39

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要不試試數(shù)學(xué)歸納法？(要挖掉零點(diǎn)）
n=0時(shí)不等式化為 $csc^2x-1=\frac{\cos^2x}{\sin^2x}<\frac{1}{x^2}<\frac{1}{\sin^2x}$
即 $\sin^2x<x^2<\tan^2x$ ，這顯然成立。

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10樓2016-02-18 00:35:22

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