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[求助] 證明積分不等式

如圖。我的想法是證明那個表達(dá)式是遞減數(shù)列，然后就出來了，但不會證明。。。求助各位大神！謝了！

積分不等式.png

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1樓 2016-07-12 00:15:52

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shabaolin

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估計要對積分里面的放縮，需要努力

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3樓2016-07-13 06:21:43

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12樓: Originally posted by hank612 at 2016-07-20 23:32:20
Invalid Equation 只是因為少敲了一個}，趁著文件還在，趕緊再發(fā)一次

5.\int_{0}^1 \frac{\cos{n \pi t}}{t+1}dt >0，

因為它大致等于\sum_{k=0}^{}\int_{\frac{2k}{n}}^{\frac{2k+1}{n}}\frac ...

謝謝大神！看得暈暈的

。。。我有幾點不明白：1.6最后那個積分不是發(fā)散的嗎？2.引理5的作用是什么？3.最后是怎么化簡成那個表達(dá)式的？

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13樓2016-07-22 01:52:17

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hank612

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引用回帖:

13樓: Originally posted by i維數(shù) at 2016-07-22 01:52:17
謝謝大神！看得暈暈的

。。。我有幾點不明白：1.6最后那個積分不是發(fā)散的嗎？2.引理5的作用是什么？3.最后是怎么化簡成那個表達(dá)式的？...

@i維數(shù) 你的觀察是完全正確的. 這一次非常難得沒有計算錯誤, 不過敲符號時分母上漏了+1, 就是你發(fā)現(xiàn)的錯誤了.

我們想估算的是 $4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^4{nt}}{t}dt +\frac{8}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^4{nt}}{t}dt-4n^2\ln{2}$ ,

也就是 $4n^2\int_{0}^{\frac{n\pi}{2}} \frac{\sin^4{t}}{t}dt +\frac{8}{3}\int_{0}^{\frac{n\pi}{2}}\frac{\sin^4{t}}{t}dt-4n^2\ln{2 }$

套用公式, 兩個積分分別是 $4n^2\left(\int_1^2 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt-\frac{2\sin^4{\frac{n\pi}{2}}}{(n\pi)^2}\right)$ 和 $\int_0^1 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt-\frac{1}{3}\int_1^2 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt$

注意到 $4n^2\int_1^2\frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt-4n^2\ln{2}=-4n^2\int_1^2\frac{\cos{n\pi t}}{t} dt$ ,

以及 $4n^2\cdot \frac{2\sin^4{\frac{n\pi}{2}}}{(n\pi)^2} =\frac{4(1-(-1)^n)}{\pi^2}$ ,

還有 $frac{1}{3}\int_1^2 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt =\frac{\ln{2}}{3}-\int_1^2 \frac{\cos{n\pi t}}{3}dt$ , 還有做變量替換后的 $\int_1^2 \frac{\cos{n\pi t}}{t}dt=\int_{0}^1 \frac{(-1)^n \cos{n\pi t}}{t+1}dt$

目標(biāo)表達(dá)式等于 $\int_{0}^1 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt+\frac{(-1)^{n+1}(12n^2-1)}{3}\int_0^1 \frac{\cos{n\pi t}}{t+1}dt-\frac{\ln{2}}{3}-\frac{4(1-(-1)^n)}{\pi^2}$

當(dāng)n是奇數(shù)時, 有 $}\int_0^1 \frac{\cos{n\pi t}}{t+1}dt >0$ 和 $\int_{0}^1 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt> \frac{\ln{2}}{3}+\frac{8}{\pi^2}$

當(dāng)n是偶數(shù)時, 有 $}\left|\frac{(12n^2-1)}{3}\int_0^1 \frac{\cos{n\pi t}}{t+1}dt \right| < \frac{11}{\pi^2}$ 和 $\int_{0}^1 \frac{1-\cos{n\pi t}}{t}dt> \frac{\ln{2}}{3}+\frac{11}{\pi^2}$

總之, 樓主請放心, 你的不等式(右半部分)即使經(jīng)過多次放縮, 依然還是成立的.

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i維數(shù)

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14樓2016-07-22 03:03:07

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hya1968

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2樓2016-07-12 05:40:28

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好像是某一梁數(shù)學(xué)競賽的題目

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4樓2016-07-13 22:37:46

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4樓: Originally posted by szuwusongbin at 2016-07-13 22:37:46
好像是某一梁數(shù)學(xué)競賽的題目

有具體的出處嗎？

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5樓2016-07-14 02:48:07

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有的，2011還是2010梁數(shù)學(xué)組初賽的。

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6樓2016-07-14 10:01:07

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6樓: Originally posted by szuwusongbin at 2016-07-14 10:01:07
有的，2011還是2010梁數(shù)學(xué)組初賽的。

是全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（數(shù)學(xué)類）初賽試題？

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7樓2016-07-14 13:16:47

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是的是的如果我沒有記錯的話

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8樓2016-07-14 22:08:41

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8樓: Originally posted by szuwusongbin at 2016-07-14 22:08:41
是的是的如果我沒有記錯的話

好的，我去找找，謝了。

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9樓2016-07-16 00:41:26

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b不客氣

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10樓2016-07-16 13:06:31

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