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[交流] 【求助】關(guān)于伴隨矩陣的證明【已解決】已有4人參與

設(shè)n階矩陣A的伴隨陣為A*，證明：
(1)若|A|=0,則|A*|=0
(2)|A*|=|A|^（n-1）

[ Last edited by javeey on 2010-5-5 at 11:31 ]

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javeey(金幣+1):謝謝應(yīng)助 2010-05-02 22:19
黑喲(金幣+1): 2010-05-03 21:46
黑喲(金幣+1): 2010-05-04 16:36:37
bluesine:小雨把第一個(gè)也證明一下：） 2010-05-04 17:09:15

僅證第二個(gè)問題。AA*=|A|E，有|A|)|A*|=|A|^n，A可逆則得證。若A不可逆，則)|A|=0。若A=0，則A*=0,若A不等于0，由秩(A)+秩(A*)<=n,有秩(A*)

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2樓2010-05-02 21:31:42

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★
小雨萌萌(金幣+1):謝謝解答。北大版的經(jīng)典高等代數(shù)上幾乎是同時(shí)講的哦。 2010-05-03 09:26
黑喲(金幣+2): 2010-05-03 21:47

我也來證一下，與2樓不同的是，我的證明不用到矩陣的秩。一般教材講到伴隨矩陣的時(shí)候，秩還沒講到。
第二道證明：
由AA*=|A|E知，|A||A*|=|A|^n.
(1) 當(dāng)|A|不等于0時(shí)，顯然上式兩邊同除以|A|即得
(2) 當(dāng)|A|=0時(shí)，采用反證法。假設(shè)|A*|不等于0，則A*是可逆矩陣。在等式AA*=|A|E兩邊同右乘A*的逆矩陣即得A=零矩陣。零矩陣的伴隨矩陣當(dāng)然為零，即A*為零矩陣，與|A*|不等于0矛盾。
第一道證明中取第二道證明之后令|A|=0即可。

多謝bluesine 版主指出筆誤部分，已改正。

[ Last edited by javeey on 2010-5-4 at 19:22 ]

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3樓2010-05-02 22:19:15

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呵呵，本人是初學(xué)者
，“在等式AA*=|A|E兩邊同右乘A*的逆舉證即得A=零矩陣”
對(duì)這句話不懂，希望能解釋一下
謝謝嘍！

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4樓2010-05-04 16:48:02

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★
javeey(金幣+1):多謝指出錯(cuò)誤 2010-05-04 19:29:23

引用回帖:

Originally posted by javeey at 2010-05-02 22:19:15:
我也來證一下，與2樓不同的是，我的證明不用到矩陣的秩。一般教材講到伴隨矩陣的時(shí)候，秩還沒講到。
第二道證明：
由AA*=|A|E知，|A||A*|=|A|^n.
(1) 當(dāng)|A|不等于0時(shí)，顯然上式兩邊同除以|A|即得
(2) 當(dāng)|A|=0 ...

“假設(shè)|A*|不等于0，則A是可逆矩陣�！边@個(gè)要證明一下吧，呵呵

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5樓2010-05-04 17:23:06

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引用回帖:

Originally posted by bluesine at 2010-05-04 17:23:06:

“假設(shè)|A*|不等于0，則A是可逆矩陣�！边@個(gè)要證明一下吧，呵呵

寫錯(cuò)了，應(yīng)該是“假設(shè)|A*|不等于0，則A*是可逆矩陣�！�
多謝指出。

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6樓2010-05-04 19:18:32

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bluesine(金幣+2):恩，這個(gè)很好。獎(jiǎng)勵(lì)一下 2010-05-05 07:52:50

引用回帖:

Originally posted by 黑喲 at 2010-05-04 16:48:02:
呵呵，本人是初學(xué)者
，“在等式AA*=|A|E兩邊同右乘A*的逆舉證即得A=零矩陣”
對(duì)這句話不懂，希望能解釋一下
謝謝嘍！

應(yīng)該是逆矩陣，已在原帖改正。

AA*(A*)^{-1}=|A|E(A*)^{-1}
因?yàn)榧僭O(shè)是|A|=0，0乘以任何矩陣都為0矩陣，所以上述等式右邊為0矩陣
左邊AA*(A*)^{-1}，可將A*(A*)^{-1}結(jié)合即得左邊為A
所以 A=0矩陣。

[ Last edited by javeey on 2010-5-4 at 19:28 ]

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7樓2010-05-04 19:21:16

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謝謝
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8樓2010-05-04 22:55:22

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