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[交流] 【求助】惱人的積分，求助�。。。。。。。。。� 已有8人參與

需要求一個(gè)這樣的積分

當(dāng)a1>a2>a3時(shí)，積分可以解為

現(xiàn)在實(shí)際情況遇到a1=a2>a3的情況，這樣這個(gè)解的分母就為0了，沒有意義。
求助大家，當(dāng)a1=a2>a3的情況時(shí)，積分該怎樣解。

還有個(gè)問題是，當(dāng)我用滿足a1>a2>a3條件時(shí)，我用的mathematics直接求的圖1中積分公式的數(shù)值積分，和用圖2中的公式計(jì)算的值相差很大。

這個(gè)結(jié)果說明了什么？是數(shù)值積分的精度影響還是公式有錯(cuò)誤？

期待回答……

[ Last edited by 小雨萌萌 on 2010-7-5 at 08:29 ]

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1樓 2010-07-04 23:03:52

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bluesine

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看不到圖片啊

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板凳要做十年冷文章不發(fā)一個(gè)字

2樓2010-07-05 08:52:36

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我看的到�。�

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3樓2010-07-05 10:04:47

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4樓2010-07-05 10:10:22

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javeey(金幣+2):謝謝提供幫助 2010-07-06 11:53:21

有一個(gè)簡(jiǎn)單的思路，就是分成

A/（a_1^2+t^2）+B/（a_2^2+t^2）+C/（a_3^2+t^2）

的形式，可以湊得出ABC

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長(zhǎng)期招收博士生，參見http://fsl-unsw.com

5樓2010-07-05 11:24:58

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樓主那個(gè)應(yīng)該就是有理形式的積分吧，拆分配湊高數(shù)里面都有的。我用mathematica計(jì)算過一些積分，也有算錯(cuò)的，你在軟件幫助里面找找看看...

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6樓2010-07-05 11:57:21

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czw2008

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已經(jīng)不學(xué)高數(shù)很多年現(xiàn)在看到就頭疼

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7樓2010-07-05 12:10:36

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saladin983

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引用回帖:

Originally posted by bluesine at 2010-07-05 02:52:36:
看不到圖片啊

看來不是我一個(gè)人遇到這個(gè)問題。。

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8樓2010-07-06 00:00:42

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joyfox

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javeey(金幣+3):謝謝提供幫助 2010-07-06 11:54:54

引用回帖:

Originally posted by onesupeng at 2010-07-05 11:24:58:
有一個(gè)簡(jiǎn)單的思路，就是分成

A/（a_1^2+t^2）+B/（a_2^2+t^2）+C/（a_3^2+t^2）

的形式，可以湊得出ABC

就是這個(gè)思路，在 $a_{i}$ 互不相等的情形下，比較容易對(duì)每個(gè)式子積分
$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{a_{i}^2+x^2}=\frac{1}{a_{i}}arctan\frac{x}{a_{i}}|_{0}^{\infty}=\frac{\pi}{2a_{i}}$

在 $a_{i}$ 部分相等的情形下，存在形如 $\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(a_{i}^2+x^2)^n}$ n=2或3的式子

參考"Table of Integrals, Series, and Products"中的以下結(jié)論

所以可以得到下面的式子
$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(a_{i}^2+x^2)^n}dx=\frac{1}{a_{i}^{2n-1}}\frac{(2n-3)!!\pi }{2^{n}(n-1)!}$

雙階乘m!!表示：當(dāng)m是自然數(shù)時(shí)，表示不超過m且與m有相同奇偶性的所有正整數(shù)的乘積。如：3!!=1*3=3,6!!=2*4*6=48

[ Last edited by joyfox on 2010-7-6 at 11:24 ]

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9樓2010-07-06 11:03:35

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引用回帖:

Originally posted by joyfox at 2010-07-06 11:03:35:

就是這個(gè)思路，在互不相等的情形下，比較容易對(duì)每個(gè)式子積分
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{0}^{\infty}\frac{1}{a_{i}^2&plus ...

但這種情況是在n為整數(shù)的條件下才能使用，在我遇到的問題中，n是1.5和0.5，不是整數(shù)啊。
這個(gè)思路應(yīng)該是正確的，多謝了

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10樓2010-07-06 11:53:01

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