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wuli8

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[交流] 轉(zhuǎn)帖：Cubic以及Trigonal cell彈性常數(shù)的計算已有11人參與

原文地址：http://cyh.xjtu.edu.cn/bbs/viewt ... p;extra=&page=1

Cubic和Trigonal晶體的彈性常數(shù)個數(shù)比較少，計算擬核也比較方便，目前計算彈性常數(shù)主要有兩個思路，一個是應(yīng)力－應(yīng)變曲線關(guān)系，此外就是應(yīng)變能－應(yīng)變關(guān)系，在兩種情況下彈性常數(shù)都是曲線的一階導(dǎo)數(shù)。在計算過程采用那種關(guān)系來擬核彈性常數(shù)沒有什么確定標準，目前實際上最大的限制是很多DFT計算軟件實際上不能把應(yīng)變結(jié)構(gòu)應(yīng)變能轉(zhuǎn)換成應(yīng)力張量形式，如DMOL，Crystal，Wine2K等都不具備這個計算功能，CASTEP是少數(shù)直接可以輸出應(yīng)力的軟件，因此在CASTEP中采用了Stress－Strain關(guān)系來擬和彈性常數(shù)：
首先給出MS擬核彈性常數(shù)文件的格式：
Elastic constants from Materials Studio: CASTEP
  ===============================================

      Summary of the calculated stresses
      **********************************

  Strain pattern:    1 （應(yīng)變方式）
  ======================

  Current amplitude: 1 （第一種應(yīng)變模式，三軸主應(yīng)變，x－y方向壓縮，z方向拉伸，為一個Volume conserving mode）
  Transformed stress tensor (GPa) :
      0.523249       0.000000       0.000000
      0.000000       0.523249       0.000000
      0.000000       0.000000       1.574015

  Current amplitude: 2 （第二種應(yīng)變強度，三軸主應(yīng)力模式，Volume Conserving Mode）
  Transformed stress tensor (GPa) :
   -0.468860       0.000000       0.000000
      0.000000    -0.468860       0.000000
      0.000000       0.000000    -1.384910

Stress corresponds to elastic coefficients (compact notation):
8  8  3  0  0  0

as induced by the strain components:
3  3  3  0  0  0

   Stress Cij    value of       value of
   index index    stress          strain
   1       8       0.523249       -0.003000
   1       8       -0.468860       0.003000（Hooke 定理擬核，應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系）
C (gradient)    :    165.351500 （彈性常數(shù)是Stress－strain曲線的一階倒數(shù)，即Gradient）
Stress intercept :    0.027194

   2       8       0.523249       -0.003000
   2       8       -0.468860       0.003000
C (gradient)    :    165.351500
Stress intercept :    0.027194

   3       3       1.574015       -0.003000
   3       3       -1.384910       0.003000
C (gradient)    :    493.154167
Stress intercept :    0.094552

  Strain pattern:    2 (第二種應(yīng)變模式，三軸主應(yīng)力＋剪切應(yīng)力）
  ======================

  Current amplitude: 1
  Transformed stress tensor (GPa) :
      1.367027       0.000000       0.000000
      0.000000       0.352390       0.264719
      0.000000       0.264719       0.469198

  Current amplitude: 2
  Transformed stress tensor (GPa) :
   -1.382814       0.000000       0.000000
      0.000000    -0.399398    -0.258369
      0.000000    -0.258369    -0.455322

Stress corresponds to elastic coefficients (compact notation):
1  7  8  4  0  0

as induced by the strain components:
1  1  1  4  0  0

   Stress Cij    value of       value of
   index index    stress          strain
   1       1       1.367027       -0.003000
   1       1       -1.382814       0.003000
C (gradient)    :    458.306833
Stress intercept :    -0.007893

   2       7       0.352390       -0.003000
   2       7       -0.399398       0.003000
C (gradient)    :    125.298000
Stress intercept :    -0.023504

   3       8       0.469198       -0.003000
   3       8       -0.455322       0.003000
C (gradient)    :    154.086667
Stress intercept :    0.006938

   4       4       0.264719       -0.002121
   4       4       -0.258369       0.002121
C (gradient)    :    123.293024
Stress intercept :    0.003175

  ============================
  Summary of elastic constants
  ============================

id  i  j    Cij (GPa)
1 1  1    458.30683 +/- 0.000
3 3  3    493.15417 +/- 0.000
4 4  4    123.29302 +/- 0.000
7 1  2    125.29800 +/- 0.000
8 1  3    161.59656 +/- 0.000

   =====================================
   Elastic Stiffness Constants Cij (GPa) （勁度張量）
   =====================================

458.30683 125.29800 161.59656    0.00000    0.00000    0.00000
125.29800 458.30683 161.59656    0.00000    0.00000    0.00000
161.59656 161.59656 493.15417    0.00000    0.00000    0.00000
   0.00000    0.00000    0.00000 123.29302    0.00000    0.00000
   0.00000    0.00000    0.00000    0.00000 123.29302    0.00000
   0.00000    0.00000    0.00000    0.00000    0.00000 166.50442

   ========================================
   Elastic Compliance Constants Sij (1/GPa) （順度張量） SijCij＝I （Uinty）
   ========================================

0.0025481  -0.0004548  -0.0006860 0.0000000 0.0000000 0.0000000
  -0.0004548 0.0025481  -0.0006860 0.0000000 0.0000000 0.0000000
  -0.0006860  -0.0006860 0.0024773 0.0000000 0.0000000 0.0000000
0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0081108 0.0000000 0.0000000
0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0081108 0.0000000
0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0060058

Bulk modulus = 255.08759 (GPa) （體彈性模量）

Compressibility =    0.00392 (1/GPa) （壓縮系數(shù)）

  Axis Young Modulus       Poisson Ratios （Young模量和Poisison比）
E平均值＝1/3(Ex+Ey+Ez),同理v=1/3(vxy+vxz+vyz)
      (GPa)
X    392.44290    Exy=  0.1785 Exz=  0.2692
Y    392.44290    Eyx=  0.1785 Eyz=  0.2692
Z    403.66400    Ezx=  0.2769 Ezy=  0.2769

Lame constants for isotropic material (GPa) (Lambe各向異性常數(shù)和剪切模量Mu）
Lambda = 194.5290, Mu = 137.6968
因此可以看到在擬核這個晶體的彈性常數(shù)的時候采用了兩種應(yīng)變模式，每種應(yīng)變模式計算了兩個應(yīng)變強度下的應(yīng)力，從而采用線彈性理論計算了與特定應(yīng)變模式有關(guān)的彈性常數(shù)。下面來說明應(yīng)變模式和彈性常數(shù)之間的關(guān)系：

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1樓 2011-08-04 15:36:29

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下面給出CASTEP所使用的兩個應(yīng)變模式：

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2樓2011-08-04 15:36:51

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通過上述關(guān)系可以明顯看到如果采用應(yīng)變模式1，可以擬核C11，C12和C13，C33四個彈性常數(shù)，但C44不能得到，因此采用了第二個應(yīng)變模式，這個應(yīng)變模式包含了一個純剪切作用項，主軸應(yīng)力的施加是為了確保Volume Conserving條件的成立，如果在CASTEP計算過程中沒有選擇這個限制條件，那么只要施加一個單純的剪切應(yīng)變就足夠了，無需其他的主軸應(yīng)力限制。如果具體到特定的應(yīng)變模式和應(yīng)力之間的關(guān)系，如下所示：

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3樓2011-08-04 15:37:49

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根據(jù)上述關(guān)系，主要能夠計算出特定應(yīng)變模式下的應(yīng)力就能得到關(guān)于彈性常數(shù)的線性方程組，這樣可以通過求解線性方程組的方法來計算彈性常數(shù)，不過線性方程組獲得首先需要對Stress－Strain關(guān)系做一階導(dǎo)數(shù)計算。
上面就是CASTEP中采用應(yīng)變和應(yīng)力關(guān)系計算彈性常數(shù)的方法。

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4樓2011-08-04 15:38:21

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另外一個思路就是應(yīng)變能和應(yīng)力之間的關(guān)系了，首先給幾個參考的文獻，下面要描述的內(nèi)容可以在這些文獻里面找到詳細的解釋：
1.First Principles Calculations of Second－ and third－order elastic constants for single crystals of arbitrary symmetry， Phys. Rev B. 75,094105 (2007), Jijun.Zhou et al.
2. Elastic Constants of Hexagonal Transition metals: Theory, Phys. Rev B. 51 (24) 17431 (1995);
3. Theory of Elastic Constants of Cubic Transition Metals and Alloys, Phys.Rev .B, 48(9), 5844 (1993);
為了便于大家進一步了解這部分內(nèi)容，現(xiàn)將文獻提供下載。
彈性常數(shù)和應(yīng)變能之間的關(guān)系如圖中所示：
首先根據(jù)Thurston和Wallace的理論將晶體在應(yīng)力下的變形定義為初始坐標和終態(tài)坐標的導(dǎo)數(shù)關(guān)系。Lagrangian應(yīng)變也得到相應(yīng)的定義，這樣我們將晶胞總能量按照應(yīng)進行Taylor級數(shù)的展開。總能量對應(yīng)變的二階偏導(dǎo)數(shù)就是彈性常數(shù)，當(dāng)然更高階的導(dǎo)數(shù)也是存在的，但在線彈性理論范圍內(nèi)我們只討論能量的二階偏導(dǎo)數(shù)就可以了，三階偏導(dǎo)數(shù)是非彈性項，這個和諧振子是很相像的，因為能量二階導(dǎo)數(shù)如果是一個拋物線關(guān)系，那么可以保證力是線性的。

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5樓2011-08-04 15:40:28

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下面給出Cubic晶體和Trigonal晶體采用能量－應(yīng)變法計算彈性常數(shù)的一般方法：
Cubic Class：
獨立彈性常數(shù)個數(shù)C11，C12，C44。施加應(yīng)變方式和對應(yīng)應(yīng)變能關(guān)系：

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6樓2011-08-04 15:43:06

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對于三方晶體而言獨立彈性常數(shù)有6個，分別是C11，C12，C13，C14，C33和C44。因此至少需要六個應(yīng)變模式，我們選取下面六個應(yīng)變模式；對應(yīng)的A也給出：

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7樓2011-08-04 15:43:44

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通過Cij計算B， G和E的時候采用的方法大家可以參考Viogt－Reuss－Hill近似，Hill指出通過單晶體力學(xué)參數(shù)來計算多晶體的力學(xué)參量可以采用對Reuss bound和Viogt bound平均的方法。
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8樓2011-08-04 15:44:44

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wuli8

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這個問題我覺得是這樣子的，如果是計算晶體Cij和P之間的關(guān)系，直接把P加到晶體結(jié)構(gòu)上面，優(yōu)化完以后計算Cij就可以了，這樣就能得到dCij/dP關(guān)系；如果是如你前面所說的要計算cij和P的關(guān)系，那應(yīng)該就是你說的計算了。

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9樓2011-08-04 15:45:06

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