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wuli8

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[交流] 轉(zhuǎn)帖：Cubic以及Trigonal cell彈性常數(shù)的計算已有11人參與

原文地址：http://cyh.xjtu.edu.cn/bbs/viewt ... p;extra=&page=1

Cubic和Trigonal晶體的彈性常數(shù)個數(shù)比較少，計算擬核也比較方便，目前計算彈性常數(shù)主要有兩個思路，一個是應(yīng)力－應(yīng)變曲線關(guān)系，此外就是應(yīng)變能－應(yīng)變關(guān)系，在兩種情況下彈性常數(shù)都是曲線的一階導(dǎo)數(shù)。在計算過程采用那種關(guān)系來擬核彈性常數(shù)沒有什么確定標準，目前實際上最大的限制是很多DFT計算軟件實際上不能把應(yīng)變結(jié)構(gòu)應(yīng)變能轉(zhuǎn)換成應(yīng)力張量形式，如DMOL，Crystal，Wine2K等都不具備這個計算功能，CASTEP是少數(shù)直接可以輸出應(yīng)力的軟件，因此在CASTEP中采用了Stress－Strain關(guān)系來擬和彈性常數(shù)：
首先給出MS擬核彈性常數(shù)文件的格式：
Elastic constants from Materials Studio: CASTEP
  ===============================================

      Summary of the calculated stresses
      **********************************

  Strain pattern:    1 （應(yīng)變方式）
  ======================

  Current amplitude: 1 （第一種應(yīng)變模式，三軸主應(yīng)變，x－y方向壓縮，z方向拉伸，為一個Volume conserving mode）
  Transformed stress tensor (GPa) :
      0.523249       0.000000       0.000000
      0.000000       0.523249       0.000000
      0.000000       0.000000       1.574015

  Current amplitude: 2 （第二種應(yīng)變強度，三軸主應(yīng)力模式，Volume Conserving Mode）
  Transformed stress tensor (GPa) :
   -0.468860       0.000000       0.000000
      0.000000    -0.468860       0.000000
      0.000000       0.000000    -1.384910

Stress corresponds to elastic coefficients (compact notation):
8  8  3  0  0  0

as induced by the strain components:
3  3  3  0  0  0

   Stress Cij    value of       value of
   index index    stress          strain
   1       8       0.523249       -0.003000
   1       8       -0.468860       0.003000（Hooke 定理擬核，應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系）
C (gradient)    :    165.351500 （彈性常數(shù)是Stress－strain曲線的一階倒數(shù)，即Gradient）
Stress intercept :    0.027194

   2       8       0.523249       -0.003000
   2       8       -0.468860       0.003000
C (gradient)    :    165.351500
Stress intercept :    0.027194

   3       3       1.574015       -0.003000
   3       3       -1.384910       0.003000
C (gradient)    :    493.154167
Stress intercept :    0.094552

  Strain pattern:    2 (第二種應(yīng)變模式，三軸主應(yīng)力＋剪切應(yīng)力）
  ======================

  Current amplitude: 1
  Transformed stress tensor (GPa) :
      1.367027       0.000000       0.000000
      0.000000       0.352390       0.264719
      0.000000       0.264719       0.469198

  Current amplitude: 2
  Transformed stress tensor (GPa) :
   -1.382814       0.000000       0.000000
      0.000000    -0.399398    -0.258369
      0.000000    -0.258369    -0.455322

Stress corresponds to elastic coefficients (compact notation):
1  7  8  4  0  0

as induced by the strain components:
1  1  1  4  0  0

   Stress Cij    value of       value of
   index index    stress          strain
   1       1       1.367027       -0.003000
   1       1       -1.382814       0.003000
C (gradient)    :    458.306833
Stress intercept :    -0.007893

   2       7       0.352390       -0.003000
   2       7       -0.399398       0.003000
C (gradient)    :    125.298000
Stress intercept :    -0.023504

   3       8       0.469198       -0.003000
   3       8       -0.455322       0.003000
C (gradient)    :    154.086667
Stress intercept :    0.006938

   4       4       0.264719       -0.002121
   4       4       -0.258369       0.002121
C (gradient)    :    123.293024
Stress intercept :    0.003175

  ============================
  Summary of elastic constants
  ============================

id  i  j    Cij (GPa)
1 1  1    458.30683 +/- 0.000
3 3  3    493.15417 +/- 0.000
4 4  4    123.29302 +/- 0.000
7 1  2    125.29800 +/- 0.000
8 1  3    161.59656 +/- 0.000

   =====================================
   Elastic Stiffness Constants Cij (GPa) （勁度張量）
   =====================================

458.30683 125.29800 161.59656    0.00000    0.00000    0.00000
125.29800 458.30683 161.59656    0.00000    0.00000    0.00000
161.59656 161.59656 493.15417    0.00000    0.00000    0.00000
   0.00000    0.00000    0.00000 123.29302    0.00000    0.00000
   0.00000    0.00000    0.00000    0.00000 123.29302    0.00000
   0.00000    0.00000    0.00000    0.00000    0.00000 166.50442

   ========================================
   Elastic Compliance Constants Sij (1/GPa) （順度張量） SijCij＝I （Uinty）
   ========================================

0.0025481  -0.0004548  -0.0006860 0.0000000 0.0000000 0.0000000
  -0.0004548 0.0025481  -0.0006860 0.0000000 0.0000000 0.0000000
  -0.0006860  -0.0006860 0.0024773 0.0000000 0.0000000 0.0000000
0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0081108 0.0000000 0.0000000
0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0081108 0.0000000
0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0060058

Bulk modulus = 255.08759 (GPa) （體彈性模量）

Compressibility =    0.00392 (1/GPa) （壓縮系數(shù)）

  Axis Young Modulus       Poisson Ratios （Young模量和Poisison比）
E平均值＝1/3(Ex+Ey+Ez),同理v=1/3(vxy+vxz+vyz)
      (GPa)
X    392.44290    Exy=  0.1785 Exz=  0.2692
Y    392.44290    Eyx=  0.1785 Eyz=  0.2692
Z    403.66400    Ezx=  0.2769 Ezy=  0.2769

Lame constants for isotropic material (GPa) (Lambe各向異性常數(shù)和剪切模量Mu）
Lambda = 194.5290, Mu = 137.6968
因此可以看到在擬核這個晶體的彈性常數(shù)的時候采用了兩種應(yīng)變模式，每種應(yīng)變模式計算了兩個應(yīng)變強度下的應(yīng)力，從而采用線彈性理論計算了與特定應(yīng)變模式有關(guān)的彈性常數(shù)。下面來說明應(yīng)變模式和彈性常數(shù)之間的關(guān)系：

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1樓 2011-08-04 15:36:29

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這個問題我覺得是這樣子的，如果是計算晶體Cij和P之間的關(guān)系，直接把P加到晶體結(jié)構(gòu)上面，優(yōu)化完以后計算Cij就可以了，這樣就能得到dCij/dP關(guān)系；如果是如你前面所說的要計算cij和P的關(guān)系，那應(yīng)該就是你說的計算了。

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9樓2011-08-04 15:45:06

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下面給出CASTEP所使用的兩個應(yīng)變模式：

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2樓2011-08-04 15:36:51

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通過上述關(guān)系可以明顯看到如果采用應(yīng)變模式1，可以擬核C11，C12和C13，C33四個彈性常數(shù)，但C44不能得到，因此采用了第二個應(yīng)變模式，這個應(yīng)變模式包含了一個純剪切作用項，主軸應(yīng)力的施加是為了確保Volume Conserving條件的成立，如果在CASTEP計算過程中沒有選擇這個限制條件，那么只要施加一個單純的剪切應(yīng)變就足夠了，無需其他的主軸應(yīng)力限制。如果具體到特定的應(yīng)變模式和應(yīng)力之間的關(guān)系，如下所示：

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3樓2011-08-04 15:37:49

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根據(jù)上述關(guān)系，主要能夠計算出特定應(yīng)變模式下的應(yīng)力就能得到關(guān)于彈性常數(shù)的線性方程組，這樣可以通過求解線性方程組的方法來計算彈性常數(shù)，不過線性方程組獲得首先需要對Stress－Strain關(guān)系做一階導(dǎo)數(shù)計算。
上面就是CASTEP中采用應(yīng)變和應(yīng)力關(guān)系計算彈性常數(shù)的方法。

[ Last edited by wuli8 on 2011-8-4 at 15:40 ]

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4樓2011-08-04 15:38:21

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