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xuyx_78金蟲 (小有名氣)
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[求助]
關(guān)于算子值域的問題
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| 求解答：若算子T是定義在Hilbert空間上的閉算子，其值域是否是閉的？如果是閉的，如何說明？ |
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xuyx_78
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2樓2011-09-02 22:01:45
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math105(金幣+2): 謝謝專家回答問題 2011-09-06 15:35:17
math105(金幣+2): 謝謝專家回答問題 2011-09-06 15:35:17
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一個閉算子的值域自然不必是閉的，好比說任何一個緊線性算子，當(dāng)然是閉算子（所有的緊算子都是有界的，所有具有閉定義域的有界算子都是閉的），然而可以證明：如果緊算子的值域是閉的，那么這個值域一定是有限維空間。在此基礎(chǔ)上，只要找一個無窮秩的緊算子，它的值域一定不是閉的。 好比說 H=l^2 （平方收斂復(fù)數(shù)序列的全體），對于 x= (x_1, x_2 , ...., x_n, ....) 令 Tx = (x_1 /1, x_2 /2, ..., x_n /n, ....) 這就是一個值域非閉的算子，盡管它作為定義在全空間上的有界算子，一定是閉算子。 由于鄙人機(jī)器上沒有l(wèi)atex，只能描述性地說明一下，見諒了。 |
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xuyx_785樓2011-09-05 13:19:53
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