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yasima2

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如何證明a+b5^(1/3)+c25^(1/3)在除法內(nèi)封閉?abc為有理數(shù)

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1樓 2011-09-24 10:25:48

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Pchief

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樓主的公式是：
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2樓2011-09-24 17:32:56

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Pchief

鐵桿木蟲 (正式寫手)

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3樓2011-09-24 17:35:16

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opanane

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【答案】應(yīng)助回帖

證明a+b5^(1/3)+c25^(1/3)其倒數(shù)也具有類似形式，用待定系數(shù)法就行。解應(yīng)該是一個(gè)線性方程組，證明一下行列式不為零（沒去證，不過應(yīng)該是和二次判別式等價(jià)）。

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4樓2011-09-24 17:39:38

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yasima2

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引用回帖:

4樓: Originally posted by opanane at 2011-09-24 17:39:38:
證明a+b5^(1/3)+c25^(1/3)其倒數(shù)也具有類似形式，用待定系數(shù)法就行。解應(yīng)該是一個(gè)線性方程組，證明一下行列式不為零（沒去證，不過應(yīng)該是和二次判別式等價(jià)）。

不懂....具體步驟有嗎?
怎么證明倒數(shù)也有類似性質(zhì)?

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5樓2011-09-24 20:40:56

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alpha94

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【答案】應(yīng)助回帖

因?yàn)樗麄兌荚谟欣頂?shù)Q添加（5）^(1/3)后的擴(kuò)域中。此域中任意個(gè)元素都是這種形式的，所以可逆，也就是除法封閉。

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6樓2011-09-25 14:12:45

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【答案】應(yīng)助回帖

yasima2(金幣+2): 2011-09-27 16:07:43

可以這樣證明：設(shè) $\alpha=\sqrt[3]{5}$ ,則它在Q上的
最小多項(xiàng)式為 $\varphi(x)=x^3-5\in\mathbb{Q}[x]$ ,它是Q上的不可約多項(xiàng)式。
于是對(duì)于任意的 $f(x)=ax^2+bx+c\in\mathbb{Q}[x]$ ,
a,b,c不全為零，\varphi(x)和f(x)的最大公因式為1。所以用歐氏長除法，存在多項(xiàng)式
$g(x),h(x)\in\mathbb{Q}[x]$ ,滿足
$f(x)g(x)+\varphi(x)h(x)=1.$
而且g(x),h(x)可以用輾轉(zhuǎn)相除法具體求出。令x＝\alpha,就有
$f(\alpha)g(\alpha)=1 \Rightarrow 1/f(\alpha)=g(\alpha)\in\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5}).$

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7樓2011-09-25 14:42:41

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