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yangaili

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[求助] 一個(gè)復(fù)矩陣不等式的證明

已知 M 是 n 階實(shí)矩陣，M+M^T（^T 表示轉(zhuǎn)置）正定，對(duì)于任意的 n 元復(fù)向量 y，證明：
[(M+M^T)y, y]>[i (M-M^T)y, y],
其中 [. , .] 表示歐氏內(nèi)積。

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類似復(fù)矩陣的特征值問題。已經(jīng)有6人回復(fù)
反對(duì)稱矩陣的對(duì)角化已經(jīng)有4人回復(fù)

1樓 2011-11-04 15:28:14

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【答案】應(yīng)助回帖

yangaili(金幣+5): 我對(duì)右側(cè)<=0的解釋不是很清楚，進(jìn)一步解釋之后會(huì)送出剩余金幣，非常感謝！ 2011-11-06 17:54:44

由M+M^T正定（可分解）和內(nèi)積定義知道，左側(cè)恒正；
由M-M^T反對(duì)稱實(shí)矩陣和內(nèi)積定義知道，右側(cè)<=0;
故不等式成立！

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2樓2011-11-05 10:10:55

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引用回帖:

2樓: Originally posted by Jackie2011 at 2011-11-05 10:10:55:
由M+M^T正定（可分解）和內(nèi)積定義知道，左側(cè)恒正；
由M-M^T反對(duì)稱實(shí)矩陣和內(nèi)積定義知道，右側(cè)<=0;
故不等式成立！

左側(cè)恒正很明顯；右側(cè) M-M^T 的確是反對(duì)稱實(shí)矩陣，并且 i*(M-M^T) 是Hermite陣，但右側(cè) <=0 我利用內(nèi)積定義看不出來，您能否說的詳細(xì)點(diǎn)？非常感謝！�。�

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3樓2011-11-06 17:50:41

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【答案】應(yīng)助回帖

引用回帖:

3樓: Originally posted by yangaili at 2011-11-06 17:50:41:
左側(cè)恒正很明顯；右側(cè) M-M^T 的確是反對(duì)稱實(shí)矩陣，并且 i*(M-M^T) 是Hermite陣，但右側(cè) <=0 我利用內(nèi)積定義看不出來，您能否說的詳細(xì)點(diǎn)？非常感謝�。�！

啟發(fā)下：
先求反對(duì)稱矩陣的特征值試試？能否對(duì)角化分解？

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4樓2011-11-06 20:06:02

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【答案】應(yīng)助回帖

引用回帖:

注意 i*(M-M^T)的酉對(duì)角化，特征值全為實(shí)數(shù)和跡為零！

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5樓2011-11-07 11:14:30

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5樓: Originally posted by Jackie2011 at 2011-11-07 11:14:30:
注意 i*(M-M^T)的酉對(duì)角化，特征值全為實(shí)數(shù)和跡為零！

利用酉對(duì)角化能把右側(cè)式子化得很簡單，但并不能說明右側(cè)<=0，因?yàn)樘卣髦涤姓胸?fù)，y是任意的。盡管跡為零，也還是得不出要的結(jié)論。
事實(shí)上，右側(cè)也有可能>0, 比如取$M=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$, 則 $M-M^T=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$, 取$y=\begin{pmatrix}1+i\\1-i\end{pmatrix}$, 此時(shí)右側(cè)=4.
十分感謝您的回答�。�！

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6樓2011-11-08 09:23:36

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5樓: Originally posted by Jackie2011 at 2011-11-07 11:14:30:
注意 i*(M-M^T)的酉對(duì)角化，特征值全為實(shí)數(shù)和跡為零！

利用酉對(duì)角化能把右側(cè)式子化得很簡單，但并不能說明右側(cè)<=0，因?yàn)樘卣髦涤姓胸?fù)，y是任意的。盡管跡為零，也還是得不出要的結(jié)論。
事實(shí)上，右側(cè)也有可能>0, 比如取 $M=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix},$ 則 [latex]M-M^T=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},[latex] 取[latex]y=\begin{pmatrix}1+i\\1-i\end{pmatrix},[latex], 此時(shí)右側(cè)=4.
十分感謝您的回答！�。�

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7樓2011-11-08 09:33:02

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