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wangxn06金蟲 (正式寫手)
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[求助]
解線性代數(shù)方程組
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問(wèn)題描述：有一個(gè)線性方程組AX=b（A是方陣）（系數(shù)矩陣A的大小為200*200以上） 系數(shù)矩陣A 是對(duì)稱矩陣，對(duì)角不占優(yōu) 不同的自由項(xiàng)b所計(jì)算得到的剩余殘差不同，即的到r=b-AX'的量級(jí)上有很大差別。 問(wèn)題：1：同樣的系數(shù)矩陣，不同的自由項(xiàng)，為什么得到的殘差量級(jí)上會(huì)有很大的差別，這是不是由于系數(shù)矩陣的某些特點(diǎn)引起的——比如說(shuō)矩陣A的條件數(shù)過(guò)大？ 2.是否有合適的方法可以使得殘差達(dá)到比較合適的量級(jí)。 我用過(guò)全主元高斯消去法、列主元高斯消去法、并且在全主元高斯消去法的基礎(chǔ)上，應(yīng)用了解的迭代改進(jìn)法、解對(duì)稱正定線性方程組的楚列斯基法，但是這些都沒(méi)有提高解的精確度（這些方法對(duì)某些自由向量b，解的結(jié)果精度都比較高，但是對(duì)某些自由向量b解的精度都不足，而這些自由向量b之間到底有什么差別也不好說(shuō)）。Sample Text |
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saladin983
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2樓2012-01-10 00:21:47
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我不太明白您的意思，但是我試著按我的理解回答一下。 AX=b，我先用某種解線性代數(shù)方程組的方法，比如高斯全主元消去法，得到X的解，比如說(shuō)為X'. 然后計(jì)算AX', 最后殘余向量r=b-AX'. 我的問(wèn)題是，理論而言這個(gè)殘余向量為0時(shí)，計(jì)算得到的X'才是這個(gè)方程的真解。但是，我在計(jì)算的過(guò)程中，自由項(xiàng)不同，殘余向量的二范數(shù)的值差別很大。 對(duì)于某些自由向量，殘余向量的二范數(shù)可達(dá)到10e-12的以上 而對(duì)有些自由向量，殘余向量的二范數(shù)只能達(dá)到10e-2。 是否有好的方法使得殘余向量的二范數(shù)盡可能的接近零呢？即，使得得到的解x‘接近真解。 |
3樓2012-01-10 10:24:06
math2000
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4樓2012-01-10 16:16:01
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首先方程相容不相容，由系數(shù)矩陣陣A的秩以及擴(kuò)張矩陣的秩的大小有關(guān)系，當(dāng)系數(shù)矩陣的秩小于擴(kuò)展矩陣的秩的時(shí)候，方程組不相容。 首先假設(shè)是不相容的，這意味著，矩陣A肯定是不滿秩的。這個(gè)或許我可以試試。 但是問(wèn)題又出來(lái)了，如果矩陣不滿秩，意味著矩陣A奇異，那么不管自由項(xiàng)是什么，方程組都得不到唯一的解。但是，我的問(wèn)題中，在某些自由項(xiàng)下，還是可以有很好的結(jié)果的。所以，方程組不可能是不相容的。 同時(shí)，您提到了正交分解法，我想問(wèn)一下這個(gè)方法相比其他方法有什么優(yōu)點(diǎn)，是否從理論上可以使得得到的解x'更加接近真解。 非常感謝！ |
5樓2012-01-10 17:01:52
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6樓2012-01-11 03:22:46
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7樓2012-01-11 11:37:30
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如果使用迭代法的話，可以利用preconditioning來(lái)改善條件數(shù)，具體的需要從系數(shù)矩陣的特性來(lái)考慮，常用的比如iLU。 關(guān)于后面一個(gè)問(wèn)題，我想我們可以打個(gè)比方考慮這樣的情況：系數(shù)矩陣有很小的特征值lambda（接近于0），而右端向量非常接近于這個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，那么求解之后的x約為這個(gè)特征向量乘以lambda的倒數(shù)（非常大），同時(shí)誤差也會(huì)被lambda的倒數(shù)放大得很厲害。如果右端向量與lambda對(duì)應(yīng)的特征向量垂直的話，就不會(huì)有這樣的問(wèn)題。 你的例子里是什么情況我不清楚，但是現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中右端向量往往不是隨意的，尤其在求解偏微分方程的時(shí)候，右端向量常常包含一定的特征空間的信息。不知這樣說(shuō)對(duì)解釋你遇到的問(wèn)題是否有所啟示？ |
8樓2012-01-12 00:14:37
wangxn06
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10樓2012-01-12 17:30:48
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