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wangxn06金蟲 (正式寫手)
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[求助]
解線性代數(shù)方程組
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問題描述：有一個線性方程組AX=b（A是方陣）（系數(shù)矩陣A的大小為200*200以上） 系數(shù)矩陣A 是對稱矩陣，對角不占優(yōu) 不同的自由項b所計算得到的剩余殘差不同，即的到r=b-AX'的量級上有很大差別。 問題：1：同樣的系數(shù)矩陣，不同的自由項，為什么得到的殘差量級上會有很大的差別，這是不是由于系數(shù)矩陣的某些特點引起的——比如說矩陣A的條件數(shù)過大？ 2.是否有合適的方法可以使得殘差達(dá)到比較合適的量級。 我用過全主元高斯消去法、列主元高斯消去法、并且在全主元高斯消去法的基礎(chǔ)上，應(yīng)用了解的迭代改進法、解對稱正定線性方程組的楚列斯基法，但是這些都沒有提高解的精確度（這些方法對某些自由向量b，解的結(jié)果精度都比較高，但是對某些自由向量b解的精度都不足，而這些自由向量b之間到底有什么差別也不好說）。Sample Text |
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saladin983
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2樓2012-01-10 00:21:47
wangxn06
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我不太明白您的意思，但是我試著按我的理解回答一下。 AX=b，我先用某種解線性代數(shù)方程組的方法，比如高斯全主元消去法，得到X的解，比如說為X'. 然后計算AX', 最后殘余向量r=b-AX'. 我的問題是，理論而言這個殘余向量為0時，計算得到的X'才是這個方程的真解。但是，我在計算的過程中，自由項不同，殘余向量的二范數(shù)的值差別很大。 對于某些自由向量，殘余向量的二范數(shù)可達(dá)到10e-12的以上 而對有些自由向量，殘余向量的二范數(shù)只能達(dá)到10e-2。 是否有好的方法使得殘余向量的二范數(shù)盡可能的接近零呢？即，使得得到的解x‘接近真解。 |
3樓2012-01-10 10:24:06
math2000
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4樓2012-01-10 16:16:01
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首先方程相容不相容，由系數(shù)矩陣陣A的秩以及擴張矩陣的秩的大小有關(guān)系，當(dāng)系數(shù)矩陣的秩小于擴展矩陣的秩的時候，方程組不相容。 首先假設(shè)是不相容的，這意味著，矩陣A肯定是不滿秩的。這個或許我可以試試。 但是問題又出來了，如果矩陣不滿秩，意味著矩陣A奇異，那么不管自由項是什么，方程組都得不到唯一的解。但是，我的問題中，在某些自由項下，還是可以有很好的結(jié)果的。所以，方程組不可能是不相容的。 同時，您提到了正交分解法，我想問一下這個方法相比其他方法有什么優(yōu)點，是否從理論上可以使得得到的解x'更加接近真解。 非常感謝！ |
5樓2012-01-10 17:01:52
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6樓2012-01-11 03:22:46
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7樓2012-01-11 11:37:30
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如果使用迭代法的話，可以利用preconditioning來改善條件數(shù)，具體的需要從系數(shù)矩陣的特性來考慮，常用的比如iLU。 關(guān)于后面一個問題，我想我們可以打個比方考慮這樣的情況：系數(shù)矩陣有很小的特征值lambda（接近于0），而右端向量非常接近于這個特征值對應(yīng)的特征向量，那么求解之后的x約為這個特征向量乘以lambda的倒數(shù)（非常大），同時誤差也會被lambda的倒數(shù)放大得很厲害。如果右端向量與lambda對應(yīng)的特征向量垂直的話，就不會有這樣的問題。 你的例子里是什么情況我不清楚，但是現(xiàn)實問題中右端向量往往不是隨意的，尤其在求解偏微分方程的時候，右端向量常常包含一定的特征空間的信息。不知這樣說對解釋你遇到的問題是否有所啟示？ |
8樓2012-01-12 00:14:37
wangxn06
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10樓2012-01-12 17:30:48
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