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shiro529

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[求助] 求助——求解常系數(shù)二次微分方程

微分方程見附件，邊界條件是x=0時(shí)，S=S0；x=L時(shí)，dS/dx=0。急，多謝！

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1樓 2012-03-17 17:22:29

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xiangqianzsh

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
shiro529: 金幣+10, ★有幫助, 仍然非常感謝 2012-03-19 10:57:56

令  z=ds/dx, 左式=d(z)/dx=(dz/ds)*(ds/dx)=(dz/ds)*z;
所以  (dz/ds)*z=sqrt(s) 這個(gè)是可分離變量形，該會(huì)解吧。
解出來是：z^2=4/3*s^(3/2)+C ，  其中C為常數(shù)
即  ds/dx=|sqrt（4/3*s^(3/2)+C ）|
剩下的根據(jù)你的初值自己算吧，
貌似下面也不好算。。。

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2樓2012-03-17 21:34:26

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引用回帖:

2樓: Originally posted by xiangqianzsh at 2012-03-17 21:34:26:
令  z=ds/dx, 左式=d(z)/dx=(dz/ds)*(ds/dx)=(dz/ds)*z;
所以  (dz/ds)*z=sqrt(s) 這個(gè)是可分離變量形，該會(huì)解吧。
解出來是：z^2=4/3*s^(3/2)+C ，  其中C為常數(shù)
即  ds/dx=|sqrt（4/3*s^(3/2)+C ）| ...

多謝！不過我就是解到這一步往下就解不出來了，麻煩你幫忙繼續(xù)解一下，并看看在此初值條件下，是否有解。再次感謝！

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3樓2012-03-18 11:15:14

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xiangqianzsh

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上面寫錯(cuò)了，是：
ds/dx=+sqrt（4/3*s^(3/2)+C ）或 -sqrt（4/3*s^(3/2)+C ）
再求積分時(shí)，你可以令sqrt（4/3*s^(3/2)+C ）=t,算算。
或許試試其他求法。
應(yīng)該都不是很好求。

不過，你可以不用求這個(gè)微分方程，也可以用 “相圖”來研究。
關(guān)于相圖的畫法參見常微分方程教程（第二版，丁同仁）（見附件）第5.1章的內(nèi)容。

才疏學(xué)淺，剩下的你就自己搞定吧。。。

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附件 1 : 常微分方程教程(丁同仁).pdf

2012-03-18 12:32:25, 9.06 M

4樓2012-03-18 12:32:26

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4樓: Originally posted by xiangqianzsh at 2012-03-18 12:32:26:
上面寫錯(cuò)了，是：
ds/dx=+sqrt（4/3*s^(3/2)+C ）或 -sqrt（4/3*s^(3/2)+C ）
再求積分時(shí)，你可以令sqrt（4/3*s^(3/2)+C ）=t,算算。
或許試試其他求法。
應(yīng)該都不是很好求。

不過，你可以不用求這個(gè)微分 ...

仍然非常感謝！我在別的地方找到完整的求解過程了，下面是一個(gè)可以自動(dòng)求解的網(wǎng)站，你也可以看看。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27+%3D+sqrt%28y%29#

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xiangqianzsh

5樓2012-03-19 10:56:30

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送鮮花一朵

引用回帖:

5樓: Originally posted by shiro529 at 2012-03-19 10:56:30:
仍然非常感謝！我在別的地方找到完整的求解過程了，下面是一個(gè)可以自動(dòng)求解的網(wǎng)站，你也可以看看。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27+%3D+sqrt%28y%29#

感謝分享，送鮮花一枚。。

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6樓2012-03-19 12:43:39

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peterflyer

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2樓: Originally posted by xiangqianzsh at 2012-03-17 21:34:26
令  z=ds/dx, 左式=d(z)/dx=(dz/ds)*(ds/dx)=(dz/ds)*z;
所以  (dz/ds)*z=sqrt(s) 這個(gè)是可分離變量形，該會(huì)解吧。
解出來是：z^2=4/3*s^(3/2)+C ，  其中C為常數(shù)
即  ds/dx=|sqrt（4/3*s^(3/2)+C ）|
...

這類積分形如x^α*[b+c*x^β]^γ的不定積分。切比雪夫已經(jīng)證明，當(dāng)且僅當(dāng)（α+1）/β、γ、（α+1）/β+γ三個(gè)數(shù)中的任一個(gè)數(shù)為整數(shù)時(shí)，上述積分才可被表達(dá)為初等函數(shù)。此處，α=0，β=3/2，γ=-1/2。上述的三個(gè)數(shù)均不為整數(shù)，因此是不可積的。

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7樓2013-11-18 16:38:07

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