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木蟲 (正式寫手)

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[求助] 三點(diǎn)支撐一個(gè)平面，最穩(wěn)定的方案？？

使用三個(gè)支點(diǎn)去支撐一個(gè)平面，如何使這個(gè)平面最穩(wěn)定。我嘗試了一下，好像需要積分和微分。不知各位有沒有更簡單的解法？

以正方形為例，我感覺下面這個(gè)方案是最優(yōu)解，不過我不能證明。

其中x等于[3-sqrt(5)]/2，即處在黃金分割點(diǎn)。（神奇的黃金分割）

希望大俠給個(gè)一般的通解和證明。

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1樓 2012-06-27 20:54:04

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cheersend

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難道不是應(yīng)該先給出“穩(wěn)定”的定義的嗎？

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2樓2012-06-28 12:43:28

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引用回帖:

2樓: Originally posted by cheersend at 2012-06-28 12:43:28
難道不是應(yīng)該先給出“穩(wěn)定”的定義的嗎？

這就好象一個(gè)三條腿的桌子，在桌子任意一點(diǎn)施加壓力，桌子所能承受的壓力越大（而不倒掉）就越“穩(wěn)定”。

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3樓2012-06-28 14:22:19

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luo000

木蟲 (正式寫手)

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我想知道為什么有個(gè)點(diǎn)在頂點(diǎn)處呢

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4樓2012-06-28 16:35:12

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會(huì)不會(huì)是因?yàn)槿切瓮獾钠渌鼌^(qū)域形成的三個(gè)三角形，面積相等所以重量相等的原因呀

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5樓2012-06-28 16:37:51

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引用回帖:

5樓: Originally posted by luo000 at 2012-06-28 16:37:51
會(huì)不會(huì)是因?yàn)槿切瓮獾钠渌鼌^(qū)域形成的三個(gè)三角形，面積相等所以重量相等的原因呀

謝謝回復(fù)。
面積確實(shí)相等，我那個(gè)圖只是示意，并不一定是最后的答案

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6樓2012-06-28 19:23:57

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csgt0

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
043114076: 金幣+10, ★★★很有幫助, 膜拜！先評(píng)分，再仔細(xì)學(xué)習(xí)。 2012-07-03 17:46:49

經(jīng)證明，按lz的思路，一邊的兩端以及對(duì)邊的中點(diǎn)為三個(gè)頂點(diǎn)的三角形是最穩(wěn)定的。
這里只計(jì)算了點(diǎn)都在邊線上的情況
如下計(jì)算結(jié)果為
a =
1.0000
0.0000
ans =
2.0000
此結(jié)果表明lz的兩個(gè)x一個(gè)取1，一個(gè)取0
ans=2,表明此時(shí)F點(diǎn)對(duì)相應(yīng)邊的最大力矩為重力矩的兩倍，即最大施加力為重力的一半。
請(qǐng)高手斧正！

CODE:

function stabledesk2

clc

clear

x0=rand(2,1);  %x,y

ub1=[1-eps;1-eps];

lb1=[eps;eps];

a=fmincon(@fun1,x0,[],[],[],[],lb1,ub1)

%a=x0;

fun1(a)

end

function ra=fun1(x)

[A1,C1]=solve(fun2([1;x(1)-1],[x(2)-1;1]),'A','C');

ro1=dis(A1,C1,0,0);

rp1=dis(A1,C1,1,1);

if x(1)<=1e-6

    ro2=1;

    rp2=0;

else

[A2,C2]=solve(fun2([1;x(1)-1],[-1;-1]),'A','C');

ro2=dis(A2,C2,0,0);

rp2=dis(A2,C2,1,-1);

end

if x(2)<=1e-6

    ro3=1;

    rp3=0;

else

    [A3,C3]=solve(fun2([-1;-1],[x(2)-1;1]),'A','C');

    ro3=dis(A3,C3,0,0);

    rp3=dis(A2,C2,-1,1);

end

ra=double(max(max(double(rp1/ro1),double(rp2/ro2)),double(rp3/ro3)));

end

function lineq=fun2(x,y)

syms A C

[x,y];

lineq=[A*x(1)+x(2)+C;A*y(1)+y(2)+C];

end

function r=dis(A,C,x0,y0)

r=abs(A*x0+y0+C)/sqrt(A^2+1);

end

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showmethemoney

7樓2012-07-03 15:06:41

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【答案】應(yīng)助回帖

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043114076: 金幣+10, ★★★很有幫助, 謝謝，非常詳細(xì)。 2012-07-03 17:47:21
dbb627: 金幣+5, 計(jì)算強(qiáng)帖+1, 感謝應(yīng)助 2012-07-03 20:29:01

剛有點(diǎn)錯(cuò)誤，第34行 rp3=dis(A3,C3,-1,1);

方法如圖
對(duì)不同的x,y(stabledesk2中的x0)，擬合1,2,3三條直線，選擇三個(gè)頂點(diǎn)分別計(jì)算其相對(duì)于三條直線的力矩，失穩(wěn)條件為施力點(diǎn)所對(duì)的點(diǎn)受力為零，此時(shí)以最近的邊為軸，重力和施力點(diǎn)應(yīng)該力矩平衡，因此只需要計(jì)算保證施力點(diǎn)對(duì)最近邊的力矩與重力對(duì)該邊的力矩之比最小就可以保證可施加力最大。但是對(duì)于3個(gè)邊隨著xy的變化，其力矩變化，對(duì)于固定的xy，應(yīng)選取最大的施力力矩，以保證計(jì)算的是失穩(wěn)時(shí)所施加的最小力。即fun1函數(shù)中，計(jì)算的r應(yīng)該取3個(gè)點(diǎn)對(duì)3條邊的力矩（即距離）最大值。

經(jīng)計(jì)算
a =
0.8284
0.8284

ans =
1.4142

即圖中的x,y均為0.8284，其中正方形邊長為2，如果對(duì)應(yīng)邊長為1即是sqrt(2)-1，此時(shí)力矩比為1.414
如果按lz選取黃金分割點(diǎn)，力矩比為1.6178，略大

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showmethemoney

8樓2012-07-03 15:40:44

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kingkongking

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不懂。我就進(jìn)來膜拜一下行么...牛批呀。

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生活就是這么精彩，這么刺激~··

9樓2012-07-05 13:54:15

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