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關于方陣自乘秩不變的證明
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假設A是n階方陣，秩為r，那么A^2的秩也是r，同理，依次類推，A的自乘的秩不變。如何證明呢？我看了一些文獻，有用r(A)>=r(A^2)>=r(A^3)>=......r(A^n+1)>=0這個式子，n+1個不等式，秩最大為n，且為整數(shù)，則必有一個等號成立。如果這個等號在最后一步成立，即r(A^n+1)=0易推出矛盾，故等號必在別處成立。 還有一種思路，即必有可逆矩陣P使得PA的前n行線性無關，而后n-r行全部為0；同理，有可逆矩陣Q使得AQ的前n列線性無關，而后n-r列全部為0.但是，這樣處理以后形式上簡化了，但好像仍然無法證明r(A^2)=r(A).其他有些文獻沒有看太懂，反正人家是證明出來了。請問有沒有簡單易懂的證明方法呢？ |
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