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wangjunyahit

銀蟲 (初入文壇)

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[求助] 求Matlab高手解決線性方程組的迭代求解問(wèn)題

遇到一個(gè)線性方程組Ax=b的求解問(wèn)題，使用Matlab直接求解但不確定結(jié)果是否正確，
想使用迭代解法求解驗(yàn)證結(jié)果，但苦于找不到合適的迭代解法和程序，希望各位大神
給予幫助，感激涕零�。。�
方程組是這樣的：
A=[-1.2e-21,1.4e6,1.4e6,-1.4e6,1.3e6;
8.9e-22,-1.4e6,4.9e3,3.8e3,0;
1.8e-22,1.4e3,-1.4e6,4.3e3,0;
4.4e-23,3.2e2,1.2e3,-5.1e6,4.3e3;
5.3e-23,0,0,1.3e3,-2.3e6]
b=[0;-1.8e-4;-1.3e-2;-1.5e-2;-4.0e-3]
直接求解如下：
x=A\b;
x=[  1.029393177754837e+20
   6.565808888911404e-08
   2.259822851544940e-08
   3.842185487752932e-09
   4.113382036189007e-09]

rcond(A)=1.694258513618419e-29;矩陣A可逆的條件數(shù)估值接近0，矩陣A條件不好，得到的解有誤差
希望各位大神
給予幫助，感激涕零�。。�

~EZ9ND[(A@F3IUUY9EJVQ4C.jpg

[ Last edited by wangjunyahit on 2012-11-24 at 16:10 ]

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1樓 2012-11-24 16:07:22

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fabaoyi

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
xiegangmai: 金幣+2, 謝謝參與 2012-11-25 19:58:30

你學(xué)過(guò)數(shù)值分析沒(méi)有,這個(gè)可以用高斯迭代法和雅可比迭代法求解,不過(guò)雖然用迭代法,跑程序時(shí)還是有警告,可能求解還是不是非�？煽�,我求解了一個(gè),下面我把高斯迭代法那個(gè)我求解用的程序和運(yùn)行結(jié)果貼在下面:
function gsdd(A,b,x0,fs,wucha,ddcs)
D=diag(diag(A));
U=-triu(A,1);
L=-tril(A,-1);
ljzx=inv(A)*b';
if det(D)==0
disp('對(duì)角矩陣D奇異，迭代不能實(shí)現(xiàn)');
return
end
B=(D-L)\U;f=(D-L)\b';
for k=1:ddcs
x1=B*x0'+f;
epsilon=norm(x1-x0',fs);
wcx=norm(x1-x0',fs)/(norm(x1,fs)+eps);
x0=x1';
if (epsilon       break
end
end
if (epsilon>wucha)||(wcx>wucha)||k==ddcs
disp(' 超過(guò)給定最大迭代次數(shù)，可能不收斂 ')
return
end
disp('迭代次數(shù):');
k
disp('迭代結(jié)果:');
x=x0'
disp('逆矩陣求解結(jié)果：');
x=ljzx
end
>> A=[-1.2e-21,1.4e6,1.4e6,-1.4e6,1.3e6;
   8.9e-22,-1.4e6,4.9e3,3.8e3,0;
   1.8e-22,1.4e3,-1.4e6,4.3e3,0;
   4.4e-23,3.2e2,1.2e3,-5.1e6,4.3e3;
   5.3e-23,0,0,1.3e3,-2.3e6];
>> b=[0;-1.8e-4;-1.3e-2;-1.5e-2;-4.0e-3]';
>> x0=[1 1 1 1 1];
>> gsdd(A,b,x0,1,10^(-15),1000)
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate.
RCOND = 1.694259e-029.
> In gsdd at 5
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate.
RCOND = 2.352941e-028.
> In gsdd at 10
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate.
RCOND = 2.352941e-028.
> In gsdd at 10
迭代次數(shù):

k =

527

迭代結(jié)果:

x =

1.029393177754839e+020
6.565808888911417e-008
2.259822851544943e-008
3.842185487752933e-009
4.113382036189012e-009

逆矩陣求解結(jié)果：

x =

1.029393177754837e+020
6.565808888911401e-008
2.259822851544940e-008
3.842185487752931e-009
4.113382036189006e-009

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3樓2012-11-25 01:28:13

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
xiegangmai: 金幣+2, 謝謝應(yīng)助 2012-11-24 20:54:11
wangjunyahit: 金幣+3, ★★★很有幫助 2012-11-25 11:12:49

矩陣的rcond顯然可以改好啊。例如將第一列乘以4e27。

>> Anew = A; Anew(:,1) = A(:,1) *4e27;rcond(Anew)
0.0103
>>x_1= Anew\b; x_1_real = x_1; x_1_real(1) = 4e27 * x_1(1)

不過(guò)結(jié)果解還是一樣的。

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2樓2012-11-24 20:35:20

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【答案】應(yīng)助回帖

★
xiegangmai: 金幣+1, 謝謝參與！ 2013-04-27 23:43:15

對(duì)于剛性的矩陣，采用x=pinv(A)*b 就可以了

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15樓2013-04-27 15:35:47

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★ ★ ★ ★
xiegangmai: 金幣+2, 謝謝參與！ 2013-04-27 23:43:35
wangjunyahit: 金幣+2, ★★★很有幫助 2013-04-30 16:19:30

CODE:

>> A=[-1.070906744447462E-017   244564571.598802        303866255.019473      303856255.019473        303756255.019473  ;  

    9.735515836938967E-017   -437040200.438244        546168396.621813        415770404.263350      0.000000000000000E+000 ; 

    1.947103215071310E-017   157778358.747585     -986775896.684545        473345946.492110       0.000000000000000E+000; 

    4.867758037678274E-018   34697270.0918581        136741245.043259       -1333413850.81819        473345946.492110   ;   

     5.841309406796348E-018  0.000000000000000E+000  0.000000000000000E+000   136741245.043259      -778102201.511583 ];

 b=[ 104348331231.704       -2072871.66710357      -154296552.906917       -178403143.022063       -48501206.8009638 ]';

>> x=pinv(A)*b

x =

   1.0e+02 *

  -0.000000000000000

   1.682414884915961

   0.668383858892869

   0.388902999746503

   0.336174005405975

>> vpa(x,30)

ans =

 -0.0000000000000000000000285841068286876334276912171331

                         168.241488491596101084724068642

                         66.8383858892869398005132097751

                         38.8902999746503041933465283364

                         33.6174005405974725135820335709

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17樓2013-04-27 15:48:18

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引用回帖:

2樓: Originally posted by 東平Modelon at 2012-11-24 20:35:20
矩陣的rcond顯然可以改好啊。例如將第一列乘以4e27。

>> Anew = A; Anew(:,1) = A(:,1) *4e27;rcond(Anew)
0.0103
>>x_1= Anew\b; x_1_real = x_1; x_1_real(1) = 4e27 * x_1(1)

不過(guò)結(jié)果解

對(duì)的，我也這樣試過(guò)，謝謝了

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4樓2012-11-25 09:28:56

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引用回帖:

我想問(wèn)下將rcond改好之后是不是意味著方程的剛性減弱，不再是病態(tài)矩陣，這樣的直接解法可以認(rèn)為是正確的？

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5樓2012-11-25 09:33:37

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引用回帖:

3樓: Originally posted by fabaoyi at 2012-11-25 01:28:13
你學(xué)過(guò)數(shù)值分析沒(méi)有,這個(gè)可以用高斯迭代法和雅可比迭代法求解,不過(guò)雖然用迭代法,跑程序時(shí)還是有警告,可能求解還是不是非�？煽�,我求解了一個(gè),下面我把高斯迭代法那個(gè)我求解用的程序和運(yùn)行結(jié)果貼在下面:
function g ...

謝謝您的解答，非常感激！
我之前也用過(guò)雅克比迭代和高斯賽德?tīng)柕M(jìn)行過(guò)求解另外一個(gè)類似的方程，但是沒(méi)有收斂，不知道是不是初值選擇的問(wèn)題，麻煩您幫忙看下！謝謝！方程如下：
A=[-1.070906744447462E-017 244564571.598802       303866255.019473    303856255.019473       303756255.019473  ;
9.735515836938967E-017 -437040200.438244       546168396.621813       415770404.263350    0.000000000000000E+000 ;
1.947103215071310E-017 157778358.747585    -986775896.684545       473345946.492110    0.000000000000000E+000;
4.867758037678274E-018 34697270.0918581       136741245.043259    -1333413850.81819       473345946.492110 ;
5.841309406796348E-018  0.000000000000000E+000  0.000000000000000E+000 136741245.043259    -778102201.511583 ];
b=[ 104348331231.704    -2072871.66710357    -154296552.906917    -178403143.022063    -48501206.8009638 ]';

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6樓2012-11-25 11:12:12

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【答案】應(yīng)助回帖

★ ★
xiegangmai: 金幣+2, 帖中代碼部分可使用“插入代碼”功能 2012-11-25 19:58:47

引用回帖:

6樓: Originally posted by wangjunyahit at 2012-11-25 11:12:12
謝謝您的解答，非常感激！
我之前也用過(guò)雅克比迭代和高斯賽德?tīng)柕M(jìn)行過(guò)求解另外一個(gè)類似的方程，但是沒(méi)有收斂，不知道是不是初值選擇的問(wèn)題，麻煩您幫忙看下！謝謝！方程如下：
A=;
b=';...

這個(gè)用迭代法的話驗(yàn)證的話,沒(méi)有哪一種迭代法是通用的,驗(yàn)證的話,你就用列主元消去法吧,一定程度上能控制舍入誤差.下面且用列主元消去法求解,過(guò)程貼下面:
function gauss(A,b,delta)
%解線性方程組
B=[A b'];
[B,n]=disha(B);
X=A\b';
for k=1:n
if abs(B(k,k))       disp('注意：detA=0!');
      return
end
end
x=(B(:,1:n))\B(:,n+1);
disp('方程有有唯一解其解為：');
disp('i             x(i)');
for i=1:n
disp(sprintf('%d       %.17e',i,x(i)));
end
function [A hs]=disha(A)
      [hs,ls]=size(A);
      for i=1:hs-1
         s=A(:,i);
         [m,row]=max(abs(s(i:hs)));
         if A(i,i)~=m
            s1=A(i,

;
A(i,

=A(row+i-1,

;
A(row+i-1,

=s1;
         end
         for j=i:hs-1
            % if A(j+1,i)==0
            %    continue
            %  end
            % r=A(i,i)/A(j+1,i);
            %A(j+1,

=A(j+1,

*r-A(i,

;
r=A(j+1,i)/A(i,i);
A(j+1,

=A(i,

*r-A(j+1,

;
         end
      end
end
disp('逆矩陣求解結(jié)果: ');
for k=1:1:5
disp(sprintf('%d       %.17e',k,X(k)'));
end
end
>> gauss(A,b,10^(-18))
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 4.382649e-026.
> In gauss at 5
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 6.691293e-026.
> In gauss at 12
方程有有唯一解其解為：
i             x(i)
1       8.90763948846464080e+026
2       3.22058008969693620e+002
3       8.07073018970861680e+001
4       2.39314314743592430e+001
5       1.09550426143824530e+001
逆矩陣求解結(jié)果:
1       8.90763948846463800e+026
2       3.22058008969693560e+002
3       8.07073018970861540e+001
4       2.39314314743592430e+001
5       1.09550426143824530e+001
>>

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活著為了實(shí)現(xiàn)價(jià)值

7樓2012-11-25 13:04:02

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wangjunyahit

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引用回帖:

7樓: Originally posted by fabaoyi at 2012-11-25 13:04:02
這個(gè)用迭代法的話驗(yàn)證的話,沒(méi)有哪一種迭代法是通用的,驗(yàn)證的話,你就用列主元消去法吧,一定程度上能控制舍入誤差.下面且用列主元消去法求解,過(guò)程貼下面:
function gauss(A,b,delta)
%解線性方程組
B=;
=disha(B ...

看不懂啊，能不能給下面的語(yǔ)句加點(diǎn)注釋
[B,n]=disha(B);             %??
x=(B(:,1:n))\B(:,n+1)    %??
s1=A(i,;                      %??
            A(i,=A(row+i-1,;
            A(row+i-1,=s1;
我的matlab水平一般，多謝了，呵呵

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自強(qiáng)不息，厚德載物

8樓2012-11-25 17:04:02

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東平Modelon

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★
xiegangmai: 金幣+1 2012-11-25 19:59:01

引用回帖:

5樓: Originally posted by wangjunyahit at 2012-11-25 02:33:37
我想問(wèn)下將rcond改好之后是不是意味著方程的剛性減弱，不再是病態(tài)矩陣，這樣的直接解法可以認(rèn)為是正確的？...

顯然如此。rcond （matlab幫助建議用cond(a)）就是確定是否病態(tài)啊。

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9樓2012-11-25 17:38:11

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fabaoyi

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【答案】應(yīng)助回帖

★
xiegangmai: 金幣+1, 謝謝參與 2012-11-26 19:08:26

引用回帖:

8樓: Originally posted by wangjunyahit at 2012-11-25 17:04:02
看不懂啊，能不能給下面的語(yǔ)句加點(diǎn)注釋
=disha(B);             %??
x=(B(:,1:n))\B(:,n+1)    %??
s1=A(i,;                      %??
            A(i,=A(row+i-1,;
            A(row+i ...

[m,row]=max(abs(s(i:hs)));%找最大列主元,m為最大列主元,row為所在行
if A(i,i)~=m%如果對(duì)角元不等于最大列主元
s1=A(i,

;%就將最大列主元與對(duì)角線上的元交換
A(i,

=A(row+i-1,

;
A(row+i-1,

=s1;
end

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活著為了實(shí)現(xiàn)價(jià)值

10樓2012-11-25 21:55:52

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