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fyl7鐵桿木蟲 (正式寫手)
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[交流]
關(guān)于直線和曲線坐標(biāo)系的疑問以及在物理學(xué)（量子力學(xué)）中的困惑 已有2人參與
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我們通常熟悉的坐標(biāo)系有直線的笛卡爾坐標(biāo)系，以及各種常用的曲線坐標(biāo)系，比如二維平面上的極坐標(biāo)，三維空間的柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)�，F(xiàn)在，有一個(gè)問題，是關(guān)于度量兩點(diǎn)間的距離的。舉個(gè)例子，假設(shè)在二維平面上有兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的（線段）距離，我們都知道可用歐幾里德幾何的度量來表示�，F(xiàn)在，如果我們采用了極坐標(biāo)系，是否可以用相應(yīng)的極坐標(biāo)來度量這個(gè)距離呢？反過來，是否可以用笛卡爾坐標(biāo)（或歐幾里德幾何）來度量一段圓弧呢，這與“化圓為方”的問題是否有聯(lián)系呢？ 進(jìn)一步，我們推廣到三維空間，比較笛卡爾坐標(biāo)和球坐標(biāo)，還是同樣的問題，即度量空間兩點(diǎn)（線段）距離，球坐標(biāo)是否好用？我們都知道，球坐標(biāo)是非歐幾何的一個(gè)例子，那么這個(gè)問題是否可以用歐式幾何和非歐幾何的獨(dú)立性來給出“否定”的回答呢，即我們無法用一般曲線坐標(biāo)來度量直線上的線段，反過來，我們也無法用直線坐標(biāo)來度量一般的曲線（比如圓�。� 現(xiàn)在，我們將這個(gè)問題應(yīng)用到物理學(xué)中，假設(shè)一個(gè)粒子作勻速直線運(yùn)動(dòng)，通過選定參考原點(diǎn)，我們可以找到一個(gè)參考系，在其中，我們的粒子具有角動(dòng)量，用其（笛卡爾）坐標(biāo)叉乘其動(dòng)量，而運(yùn)動(dòng)過程中，角動(dòng)量和動(dòng)量都守恒（沒有力的作用）。將此粒子量子化，粒子用波函數(shù)表示（可展開成動(dòng)量本征態(tài)），而角動(dòng)量算符是坐標(biāo)叉乘動(dòng)量算符（坐標(biāo)偏微分），在考慮到角動(dòng)量問題時(shí)，一般我們會(huì)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系，進(jìn)入球坐標(biāo)系，比如在原子問題中�，F(xiàn)在疑惑出現(xiàn)了，即上面提到的有關(guān)度量問題是否也出現(xiàn)在相應(yīng)的量子力學(xué)中呢？粒子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng)，卻可以展開成角動(dòng)量表象|l,m>（有一個(gè)關(guān)于平面波展成球諧函數(shù)的瑞利展開公式），并且假設(shè)粒子處在某一動(dòng)量本征態(tài)上，它運(yùn)動(dòng)的距離卻又無法用球坐標(biāo)來度量，換句話說，就是勻速直線運(yùn)動(dòng)能否用圓周運(yùn)動(dòng)加上徑向運(yùn)動(dòng)來合成。這個(gè)問題該如何解答呢？如果答案是否定的，這是否暗示了量子力學(xué)中關(guān)于角動(dòng)量的理論是有問題的？ 希望有人能解答！  |
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3樓2012-12-28 09:07:02
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1. 兩點(diǎn)之間的距離 不管用什么坐標(biāo)系都可以計(jì)算(度量)吧 ds^2= g^ij dx_i dx_J 不同的坐標(biāo)系 只是相應(yīng)的g_ij不一樣 在笛卡爾坐標(biāo)中 剛好是單位矩陣 同樣 采用什么坐標(biāo)系和非歐幾何沒關(guān)系吧 因?yàn)椴还懿捎檬裁醋鴺?biāo)系 雖然度規(guī)(g^ij)不一樣 但是曲率應(yīng)該是一樣的 曲率應(yīng)該是描述空間的平直性與否(印象中是這樣) 2：問的是對(duì)量子力學(xué)中的情況 還是經(jīng)典的？ 看不太懂 如果是量子力學(xué)的 "就是勻速直線運(yùn)動(dòng)能否用圓周運(yùn)動(dòng)加上徑向運(yùn)動(dòng)來合成" 平面波由球面波的合成 你上面不是提了么？ 在量子力學(xué)里面 不存在所謂的 勻速直線運(yùn)動(dòng)吧 -- 只是平面波的波矢是個(gè)常矢量 】 |
4樓2012-12-28 13:14:24
fyl7
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夕陽西下: 介紹角動(dòng)量時(shí)講到了球面波是平面波的疊加。 2012-12-29 11:53:12
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這個(gè)問題我目前已經(jīng)想明白了。其實(shí)，坦白說，我還是在繼續(xù)之前的工作，目前已經(jīng)得到一些模糊的結(jié)果，比如勻速直線運(yùn)動(dòng)的確存在，而平面波正是描述這種粒子的運(yùn)動(dòng)模式的。此外，之所以提出球坐標(biāo)之類的問題，是因?yàn)槲以诳紤]角動(dòng)量，看看是否也能將其納入之前的框架下。 總的說來，我現(xiàn)在的觀點(diǎn)其實(shí)更傾向于“量子力學(xué)其實(shí)只是尺度縮小了的經(jīng)典力學(xué)”，當(dāng)然這只是個(gè)不嚴(yán)格的比喻。靈感的來源就是我之前工作的一個(gè)假設(shè)，即“粒子的狀態(tài)，在不受干擾的情況下，永遠(yuǎn)都處于某一確定的本征態(tài)下”，而在所有的本征態(tài)中，動(dòng)量本征態(tài)似乎是最基本的，而粒子的坐標(biāo)不應(yīng)該是物理量，只是坐標(biāo)參數(shù)而已。 |
5樓2012-12-28 13:42:59
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