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fyl7鐵桿木蟲 (正式寫手)
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關(guān)于直線和曲線坐標(biāo)系的疑問以及在物理學(xué)（量子力學(xué)）中的困惑 已有2人參與
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我們通常熟悉的坐標(biāo)系有直線的笛卡爾坐標(biāo)系，以及各種常用的曲線坐標(biāo)系，比如二維平面上的極坐標(biāo)，三維空間的柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)。現(xiàn)在，有一個(gè)問題，是關(guān)于度量?jī)牲c(diǎn)間的距離的。舉個(gè)例子，假設(shè)在二維平面上有兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的（線段）距離，我們都知道可用歐幾里德幾何的度量來(lái)表示�，F(xiàn)在，如果我們采用了極坐標(biāo)系，是否可以用相應(yīng)的極坐標(biāo)來(lái)度量這個(gè)距離呢？反過(guò)來(lái)，是否可以用笛卡爾坐標(biāo)（或歐幾里德幾何）來(lái)度量一段圓弧呢，這與“化圓為方”的問題是否有聯(lián)系呢？ 進(jìn)一步，我們推廣到三維空間，比較笛卡爾坐標(biāo)和球坐標(biāo)，還是同樣的問題，即度量空間兩點(diǎn)（線段）距離，球坐標(biāo)是否好用？我們都知道，球坐標(biāo)是非歐幾何的一個(gè)例子，那么這個(gè)問題是否可以用歐式幾何和非歐幾何的獨(dú)立性來(lái)給出“否定”的回答呢，即我們無(wú)法用一般曲線坐標(biāo)來(lái)度量直線上的線段，反過(guò)來(lái)，我們也無(wú)法用直線坐標(biāo)來(lái)度量一般的曲線（比如圓�。� 現(xiàn)在，我們將這個(gè)問題應(yīng)用到物理學(xué)中，假設(shè)一個(gè)粒子作勻速直線運(yùn)動(dòng)，通過(guò)選定參考原點(diǎn)，我們可以找到一個(gè)參考系，在其中，我們的粒子具有角動(dòng)量，用其（笛卡爾）坐標(biāo)叉乘其動(dòng)量，而運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，角動(dòng)量和動(dòng)量都守恒（沒有力的作用）。將此粒子量子化，粒子用波函數(shù)表示（可展開成動(dòng)量本征態(tài)），而角動(dòng)量算符是坐標(biāo)叉乘動(dòng)量算符（坐標(biāo)偏微分），在考慮到角動(dòng)量問題時(shí)，一般我們會(huì)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系，進(jìn)入球坐標(biāo)系，比如在原子問題中�，F(xiàn)在疑惑出現(xiàn)了，即上面提到的有關(guān)度量問題是否也出現(xiàn)在相應(yīng)的量子力學(xué)中呢？粒子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng)，卻可以展開成角動(dòng)量表象|l,m>（有一個(gè)關(guān)于平面波展成球諧函數(shù)的瑞利展開公式），并且假設(shè)粒子處在某一動(dòng)量本征態(tài)上，它運(yùn)動(dòng)的距離卻又無(wú)法用球坐標(biāo)來(lái)度量，換句話說(shuō)，就是勻速直線運(yùn)動(dòng)能否用圓周運(yùn)動(dòng)加上徑向運(yùn)動(dòng)來(lái)合成。這個(gè)問題該如何解答呢？如果答案是否定的，這是否暗示了量子力學(xué)中關(guān)于角動(dòng)量的理論是有問題的？ 希望有人能解答！  |
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2樓2012-12-28 00:25:14
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夕陽(yáng)西下: 當(dāng)然可以，只是在直角坐標(biāo)系下描述弧長(zhǎng)不方便要做轉(zhuǎn)化即x=rcosai+rsinaj.弧長(zhǎng)就為l=ra. 2012-12-28 11:23:35
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我覺得，球坐標(biāo)系中那關(guān)于球的部分其實(shí)就是球面幾何，而球面幾何就是非歐幾何的一個(gè)特例。二維平面下的圓的確可以那樣表示，但是我的目的是想度量?jī)牲c(diǎn)間距，比如用笛卡爾坐標(biāo)中的相關(guān)量是否可以度量一段弧，或者反過(guò)來(lái)，用極坐標(biāo)中的相關(guān)量是否可以度量一個(gè)直線段。 |
3樓2012-12-28 09:07:02
walk1997
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1. 兩點(diǎn)之間的距離 不管用什么坐標(biāo)系都可以計(jì)算(度量)吧 ds^2= g^ij dx_i dx_J 不同的坐標(biāo)系 只是相應(yīng)的g_ij不一樣 在笛卡爾坐標(biāo)中 剛好是單位矩陣 同樣 采用什么坐標(biāo)系和非歐幾何沒關(guān)系吧 因?yàn)椴还懿捎檬裁醋鴺?biāo)系 雖然度規(guī)(g^ij)不一樣 但是曲率應(yīng)該是一樣的 曲率應(yīng)該是描述空間的平直性與否(印象中是這樣) 2：?jiǎn)柕氖菍?duì)量子力學(xué)中的情況 還是經(jīng)典的？ 看不太懂 如果是量子力學(xué)的 "就是勻速直線運(yùn)動(dòng)能否用圓周運(yùn)動(dòng)加上徑向運(yùn)動(dòng)來(lái)合成" 平面波由球面波的合成 你上面不是提了么？ 在量子力學(xué)里面 不存在所謂的 勻速直線運(yùn)動(dòng)吧 -- 只是平面波的波矢是個(gè)常矢量 】 |
4樓2012-12-28 13:14:24
fyl7
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夕陽(yáng)西下: 介紹角動(dòng)量時(shí)講到了球面波是平面波的疊加。 2012-12-29 11:53:12
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這個(gè)問題我目前已經(jīng)想明白了。其實(shí)，坦白說(shuō)，我還是在繼續(xù)之前的工作，目前已經(jīng)得到一些模糊的結(jié)果，比如勻速直線運(yùn)動(dòng)的確存在，而平面波正是描述這種粒子的運(yùn)動(dòng)模式的。此外，之所以提出球坐標(biāo)之類的問題，是因?yàn)槲以诳紤]角動(dòng)量，看看是否也能將其納入之前的框架下。 總的說(shuō)來(lái)，我現(xiàn)在的觀點(diǎn)其實(shí)更傾向于“量子力學(xué)其實(shí)只是尺度縮小了的經(jīng)典力學(xué)”，當(dāng)然這只是個(gè)不嚴(yán)格的比喻。靈感的來(lái)源就是我之前工作的一個(gè)假設(shè)，即“粒子的狀態(tài)，在不受干擾的情況下，永遠(yuǎn)都處于某一確定的本征態(tài)下”，而在所有的本征態(tài)中，動(dòng)量本征態(tài)似乎是最基本的，而粒子的坐標(biāo)不應(yīng)該是物理量，只是坐標(biāo)參數(shù)而已。 |
5樓2012-12-28 13:42:59
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不贊同上面這些觀點(diǎn) 尤其是 "而在所有的本征態(tài)中，動(dòng)量本征態(tài)似乎是最基本的"...... 動(dòng)量本征態(tài)是比較特殊 但是不能算是最基本吧 為什么說(shuō)Hilbert空間中的某些態(tài)比其他的更基本 不理解 動(dòng)量本征態(tài)的特殊性在于量子化中直角坐標(biāo)系的相對(duì)特殊性 [x,p]=ih (＋-號(hào)忘了...) 共軛坐標(biāo) 動(dòng)量只在直角坐標(biāo)下成立.... 曲線坐標(biāo)下 量子化對(duì)易關(guān)系要改變 |
6樓2012-12-28 14:07:55
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怎么說(shuō)呢，我也不是很確定，只是直覺讓我覺得似乎如此。比如，考慮一個(gè)氫原子，它是兩個(gè)粒子的束縛形式。如果，以質(zhì)心為參考原點(diǎn)，或者近似地以較重的質(zhì)子為參考原點(diǎn)，此時(shí)利用球坐標(biāo)的確是適合的。不過(guò)，如果我們以氫原子外其它任意點(diǎn)為參考原點(diǎn)，那么球坐標(biāo)系不再好用，而代之以直角坐標(biāo)系，氫原子的整體運(yùn)動(dòng)以及質(zhì)子與電子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)需同時(shí)考慮。那么，根據(jù)“物理過(guò)程的描述不應(yīng)依賴參考原點(diǎn)”這種相對(duì)性原理，兩個(gè)參考系給出的物理應(yīng)該沒有什么差別�？墒�，前者（以質(zhì)心為參考原點(diǎn)）的波函數(shù)都是球坐標(biāo)系下的波函數(shù)，量子態(tài)用|n,l,m>表示，而后者的波函數(shù)都是平面波及其疊加，量子態(tài)用|p_1,p_2,p_3>表示。那么這兩種描述該如何來(lái)加以比較和理解呢？ 很明顯，后面的描述事實(shí)上是量子場(chǎng)論可以解決的，即兩個(gè)帶電粒子間的電磁相互作用（或近似的庫(kù)侖力）。我們都知道，量子場(chǎng)論中，動(dòng)量本征態(tài)是恰當(dāng)?shù)�，于是在這種圖像下，氫原子實(shí)際上是時(shí)空中的兩條世界線（質(zhì)子和電子的），正如費(fèi)曼圖所揭示的。如此，通過(guò)它們之間的電磁相互作用，各自的能、動(dòng)量在不斷變化著，在非相對(duì)論極限下，只有動(dòng)量是變化著的，相應(yīng)的角動(dòng)量也在變（這里的角動(dòng)量即是坐標(biāo)叉乘動(dòng)量）。 有了這種圖像，現(xiàn)在我們返回質(zhì)心系去理解氫原子中的近似電子波函數(shù)（用球坐標(biāo)表示的）。對(duì)于基態(tài)，沒有角動(dòng)量貢獻(xiàn)，徑向動(dòng)量平均值為零，那么基態(tài)用后者（即量子場(chǎng)論圖像）該如何理解呢？答案是明顯的，質(zhì)子和電子是相對(duì)靜止的，它們之間的距離作為參數(shù)構(gòu)成徑向波函數(shù)，而電子相對(duì)質(zhì)子的角度卻是任意，但它們必須始終保持一致的動(dòng)量。類似地，激發(fā)態(tài)是質(zhì)子和電子間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，從而也就有可能具有角動(dòng)量|l,m>。 總之，原子這樣的體系在量子場(chǎng)論的圖像下，都是可以解釋為多體問題，而量子場(chǎng)論最適合的本征態(tài)就是動(dòng)量本征態(tài)。只是具體的細(xì)節(jié)就復(fù)雜得無(wú)以復(fù)加了。 不知這樣的解釋是否合理？ |
7樓2012-12-28 15:47:53
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說(shuō)實(shí)話 讀了這個(gè) 我個(gè)人暫時(shí)的感覺 上面對(duì)量子力學(xué)有很多"奇怪"的理解 對(duì)量子場(chǎng)論更多不恰當(dāng)?shù)睦斫?br /> 舉個(gè)例子： “量子場(chǎng)論最適合的本征態(tài)就是動(dòng)量本征態(tài)” 你這些結(jié)論 個(gè)人感覺都是基于直覺和想象 并不是真實(shí)情況 上面這些結(jié)論都是怎么得出的？(我想可能基于微擾論吧) 另外 對(duì)于氫原子這樣的低能體系 量子力學(xué)是場(chǎng)論的有效理論 兩者之間的有效等價(jià)是通過(guò)散射問題match得到的 直接處理束縛態(tài)的話 場(chǎng)論的方法比量子力學(xué)的方法存在更多問題..... |
8樓2012-12-28 18:51:50
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“直覺和想象”這樣的描述很貼切，我喜歡，呵呵。 首先得說(shuō)，我正嘗試著擺脫傳統(tǒng)的關(guān)于量子力學(xué)以及量子場(chǎng)論的物理詮釋，但數(shù)學(xué)形式不需要大的改變，換句話說(shuō)說(shuō)，就對(duì)量子理論的數(shù)學(xué)表述給出一個(gè)更加符合我印象中的物理世界的解釋。這些比較大膽的想法當(dāng)然是基于我先前的那個(gè)工作，其中系綜詮釋站主導(dǎo)地位。至于，這種嘗試是否符合真實(shí)情況，我不知道，至少是現(xiàn)有的量子力學(xué)以及量子場(chǎng)論是否精確地符合實(shí)際情況，也沒有定論（我是指在物理詮釋上）。 其次，我覺得散射是人類設(shè)計(jì)的用以檢驗(yàn)理論的一種有效的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，而實(shí)際的物理過(guò)程遠(yuǎn)比散射來(lái)的復(fù)雜，也就是說(shuō)量子場(chǎng)論應(yīng)該包含的范圍比量子力學(xué)更加廣泛，至少原則上如此，不過(guò)技術(shù)上肯定是很難的。 至于你說(shuō)的微擾論的問題，由于現(xiàn)在幾乎沒有很好的非微擾的理論，所以微擾圖像還是有效的。 總之，我的頭腦里的圖像就是，大量的各種各樣的粒子相互碰撞或結(jié)合成為新的粒子或者分裂為其它粒子，而這些過(guò)程都必須滿足能量、動(dòng)量守恒。當(dāng)然，這是高能的情形，低能時(shí)，物理過(guò)程要簡(jiǎn)單許多。 |
9樓2012-12-29 09:40:00
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