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fyl7鐵桿木蟲 (正式寫手)
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[交流]
關(guān)于直線和曲線坐標(biāo)系的疑問以及在物理學(xué)（量子力學(xué)）中的困惑 已有2人參與
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我們通常熟悉的坐標(biāo)系有直線的笛卡爾坐標(biāo)系，以及各種常用的曲線坐標(biāo)系，比如二維平面上的極坐標(biāo)，三維空間的柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)�，F(xiàn)在，有一個(gè)問題，是關(guān)于度量?jī)牲c(diǎn)間的距離的。舉個(gè)例子，假設(shè)在二維平面上有兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的（線段）距離，我們都知道可用歐幾里德幾何的度量來表示�，F(xiàn)在，如果我們采用了極坐標(biāo)系，是否可以用相應(yīng)的極坐標(biāo)來度量這個(gè)距離呢？反過來，是否可以用笛卡爾坐標(biāo)（或歐幾里德幾何）來度量一段圓弧呢，這與“化圓為方”的問題是否有聯(lián)系呢？ 進(jìn)一步，我們推廣到三維空間，比較笛卡爾坐標(biāo)和球坐標(biāo)，還是同樣的問題，即度量空間兩點(diǎn)（線段）距離，球坐標(biāo)是否好用？我們都知道，球坐標(biāo)是非歐幾何的一個(gè)例子，那么這個(gè)問題是否可以用歐式幾何和非歐幾何的獨(dú)立性來給出“否定”的回答呢，即我們無法用一般曲線坐標(biāo)來度量直線上的線段，反過來，我們也無法用直線坐標(biāo)來度量一般的曲線（比如圓�。�？ 現(xiàn)在，我們將這個(gè)問題應(yīng)用到物理學(xué)中，假設(shè)一個(gè)粒子作勻速直線運(yùn)動(dòng)，通過選定參考原點(diǎn)，我們可以找到一個(gè)參考系，在其中，我們的粒子具有角動(dòng)量，用其（笛卡爾）坐標(biāo)叉乘其動(dòng)量，而運(yùn)動(dòng)過程中，角動(dòng)量和動(dòng)量都守恒（沒有力的作用）。將此粒子量子化，粒子用波函數(shù)表示（可展開成動(dòng)量本征態(tài)），而角動(dòng)量算符是坐標(biāo)叉乘動(dòng)量算符（坐標(biāo)偏微分），在考慮到角動(dòng)量問題時(shí)，一般我們會(huì)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系，進(jìn)入球坐標(biāo)系，比如在原子問題中。現(xiàn)在疑惑出現(xiàn)了，即上面提到的有關(guān)度量問題是否也出現(xiàn)在相應(yīng)的量子力學(xué)中呢？粒子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng)，卻可以展開成角動(dòng)量表象|l,m>（有一個(gè)關(guān)于平面波展成球諧函數(shù)的瑞利展開公式），并且假設(shè)粒子處在某一動(dòng)量本征態(tài)上，它運(yùn)動(dòng)的距離卻又無法用球坐標(biāo)來度量，換句話說，就是勻速直線運(yùn)動(dòng)能否用圓周運(yùn)動(dòng)加上徑向運(yùn)動(dòng)來合成。這個(gè)問題該如何解答呢？如果答案是否定的，這是否暗示了量子力學(xué)中關(guān)于角動(dòng)量的理論是有問題的？ 希望有人能解答！  |
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fyl7
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“直覺和想象”這樣的描述很貼切，我喜歡，呵呵。 首先得說，我正嘗試著擺脫傳統(tǒng)的關(guān)于量子力學(xué)以及量子場(chǎng)論的物理詮釋，但數(shù)學(xué)形式不需要大的改變，換句話說說，就對(duì)量子理論的數(shù)學(xué)表述給出一個(gè)更加符合我印象中的物理世界的解釋。這些比較大膽的想法當(dāng)然是基于我先前的那個(gè)工作，其中系綜詮釋站主導(dǎo)地位。至于，這種嘗試是否符合真實(shí)情況，我不知道，至少是現(xiàn)有的量子力學(xué)以及量子場(chǎng)論是否精確地符合實(shí)際情況，也沒有定論（我是指在物理詮釋上）。 其次，我覺得散射是人類設(shè)計(jì)的用以檢驗(yàn)理論的一種有效的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，而實(shí)際的物理過程遠(yuǎn)比散射來的復(fù)雜，也就是說量子場(chǎng)論應(yīng)該包含的范圍比量子力學(xué)更加廣泛，至少原則上如此，不過技術(shù)上肯定是很難的。 至于你說的微擾論的問題，由于現(xiàn)在幾乎沒有很好的非微擾的理論，所以微擾圖像還是有效的。 總之，我的頭腦里的圖像就是，大量的各種各樣的粒子相互碰撞或結(jié)合成為新的粒子或者分裂為其它粒子，而這些過程都必須滿足能量、動(dòng)量守恒。當(dāng)然，這是高能的情形，低能時(shí)，物理過程要簡(jiǎn)單許多。 |
9樓2012-12-29 09:40:00
Mickeychen
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2樓2012-12-28 00:25:14
fyl7
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夕陽西下: 當(dāng)然可以，只是在直角坐標(biāo)系下描述弧長(zhǎng)不方便要做轉(zhuǎn)化即x=rcosai+rsinaj.弧長(zhǎng)就為l=ra. 2012-12-28 11:23:35
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我覺得，球坐標(biāo)系中那關(guān)于球的部分其實(shí)就是球面幾何，而球面幾何就是非歐幾何的一個(gè)特例。二維平面下的圓的確可以那樣表示，但是我的目的是想度量?jī)牲c(diǎn)間距，比如用笛卡爾坐標(biāo)中的相關(guān)量是否可以度量一段弧，或者反過來，用極坐標(biāo)中的相關(guān)量是否可以度量一個(gè)直線段。 |
3樓2012-12-28 09:07:02
walk1997
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小木蟲: 金幣+0.5, 給個(gè)紅包，謝謝回帖
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1. 兩點(diǎn)之間的距離 不管用什么坐標(biāo)系都可以計(jì)算(度量)吧 ds^2= g^ij dx_i dx_J 不同的坐標(biāo)系 只是相應(yīng)的g_ij不一樣 在笛卡爾坐標(biāo)中 剛好是單位矩陣 同樣 采用什么坐標(biāo)系和非歐幾何沒關(guān)系吧 因?yàn)椴还懿捎檬裁醋鴺?biāo)系 雖然度規(guī)(g^ij)不一樣 但是曲率應(yīng)該是一樣的 曲率應(yīng)該是描述空間的平直性與否(印象中是這樣) 2：?jiǎn)柕氖菍?duì)量子力學(xué)中的情況 還是經(jīng)典的？ 看不太懂 如果是量子力學(xué)的 "就是勻速直線運(yùn)動(dòng)能否用圓周運(yùn)動(dòng)加上徑向運(yùn)動(dòng)來合成" 平面波由球面波的合成 你上面不是提了么？ 在量子力學(xué)里面 不存在所謂的 勻速直線運(yùn)動(dòng)吧 -- 只是平面波的波矢是個(gè)常矢量 】 |
4樓2012-12-28 13:14:24
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