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luqing6879木蟲(chóng) (著名寫(xiě)手)
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[求助]
請(qǐng)問(wèn)是否任意方陣都可以變成對(duì)角化矩陣
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如果不是的話，什么樣的矩陣可以進(jìn)行對(duì)角化？ 或者說(shuō)，一個(gè)矩陣是否一定存在相似變換矩陣？什么樣的矩陣存在相似變換矩陣？ 謝謝。 |
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weft
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【答案】應(yīng)助回帖
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感謝參與，應(yīng)助指數(shù) +1
luqing6879: 金幣+1, ★有幫助, 謝謝。 2013-04-27 00:43:17
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luqing6879: 金幣+1, ★有幫助, 謝謝。 2013-04-27 00:43:17
| n階方陣可對(duì)角化的充分必要條件是它有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量. 不過(guò)這話說(shuō)了等于沒(méi)說(shuō), 因?yàn)椴痪邆淇刹僮餍? 真正要解決這個(gè)問(wèn)題需要用到極小多項(xiàng)式(也叫最小多項(xiàng)式)的概念, 可以證明矩陣可對(duì)角化的充分必要條件是它的極小多項(xiàng)式可分解為互素的一次因式的乘積. 這不是一兩句話能說(shuō)清的事情, 還是去看書(shū)吧. |
2樓2013-04-26 04:45:01
188052897
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【答案】應(yīng)助回帖
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luqing6879: 金幣+4, ★★★很有幫助, 謝謝。不過(guò)關(guān)于第一點(diǎn)，我想應(yīng)該允許存在兼并解。 2013-04-27 00:44:03
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1.如果方陣的特征值互不相同，該方陣一定可以對(duì)角化（這是充分條件）； 2.對(duì)稱(chēng)矩陣一定可以對(duì)角化。 3.求出（或證明）方陣所有線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)=階數(shù)n（這是充要條件，最麻煩，一般求特征向量時(shí)順帶得到） 4.一般構(gòu)造可逆陣或者正交陣使得方陣可對(duì)角化。 |
3樓2013-04-26 09:04:58
梁萍萍
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【答案】應(yīng)助回帖
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luqing6879: 金幣+5, ★★★★★最佳答案, 謝謝。 2013-04-27 00:44:43
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不是所有的矩陣都可以對(duì)角化，相似對(duì)角化的充分必要條件:是原矩陣A的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量要等于n個(gè)，但是不要求特征值等于n,也就是說(shuō)若有一個(gè)特征值是重根，比如說(shuō)A是3階矩陣，X1=X2是二重根那么對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式的秩必須是3-2=1，只有這樣子才會(huì)解出兩個(gè)特征向量。那么A可以對(duì)角化，并且對(duì)角元素就是特征值。不知道這么說(shuō)你會(huì)不會(huì)懂，書(shū)上有例題。 [ 發(fā)自手機(jī)版 http://www.gaoyang168.com/3g ] |
4樓2013-04-26 09:14:18
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