Quakerbird

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[交流] 變分有幾何意義嗎？

本人是個數(shù)學(xué)的文盲和門外漢，這幾天偶爾得知變分法這個東東，對于我來說過于高深莫測了，有沒有簡單直觀的理解辦法。

譬如，微分如果可以和導(dǎo)數(shù)視作為為一樣的話，則是曲線的切線斜率，積分是曲線與坐標(biāo)軸所圍成的面積。那么，變分是個神馬東東？可否有比較直觀簡單的理解方式？

金幣有限，見諒。

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1樓 2013-05-09 03:22:11

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lynzhung

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變分原理簡單例子，比如我要求2x+1=0的解，那么我就去求y=x^2+x的最小值。如果我把y稱為能量的話，那么我們要求解的方程就是能量最小的點，稱為臨界點。
因為有hamilton作用原理，任何物理狀態(tài)都會停留在能量最小的地方。（可能描述的不夠精確）
變分原理就是通過求能量極值來求解方程解的方法

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12樓2013-05-09 09:59:00

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weft

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Quakerbird: 金幣+1 2013-05-09 07:02:42

變分, 微分, 積分, 雖然都有一個"分", 但不是你這么類比的. 粗略的說, 要把變分講清楚, 需要用到泛函的概念. 很多幾何和物理上的問題都與變分的臨界點有關(guān). 比如: 1. 歐式空間中為什么兩點之間直線距離最短? 推廣到一般的黎曼幾何就是測地線問題. 2. 歷史上的速降線問題. 3. 用鐵絲做成的邊框往肥皂液中蘸一下然后取出來, 肥皂膜的形狀. 推廣到一般情形就是極小曲面曲面問題.

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3樓2013-05-09 06:53:25

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gzl9901

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科研加油！

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2樓2013-05-09 03:53:20

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Quakerbird

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引用回帖:

3樓: Originally posted by weft at 2013-05-09 06:53:25
變分, 微分, 積分, 雖然都有一個"分", 但不是你這么類比的. 粗略的說, 要把變分講清楚, 需要用到泛函的概念. 很多幾何和物理上的問題都與變分的臨界點有關(guān). 比如: 1. 歐式空間中為什么兩點之間直線距離最 ...

所以說很難理解啊，希望有一個比較直觀的幾何解釋。可否這樣理解，在某種空間中，尋找符合某種條件的一族曲線或曲面中最佳一個的相關(guān)方法學(xué)？這樣沒有類似微分、積分哪樣直觀的幾何意義了。

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4樓2013-05-09 07:01:55

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whyhow

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★
Quakerbird(金幣+1): 謝謝參與

看來不能通過技術(shù)流的方式讓你理解了.

變分法的內(nèi)容豐富, 可以算是微積分應(yīng)用的高端部分, 應(yīng)用非常廣泛, 特別是幾何問題.
建議你讀一本書<<慳慳宇宙>>, 是著名數(shù)學(xué)家寫的.

[ Last edited by whyhow on 2013-5-9 at 07:31 ]

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6樓2013-05-09 07:29:40

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lynzhung

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Quakerbird(金幣+1): 謝謝參與

親，建議你去看一本變分方法的書，其實你可以找一個介紹有限元方法的書的前面的基本理論部分應(yīng)該有對變分原理的詳細(xì)的解說。
或者理論力學(xué)的后面也有相關(guān)的說明。關(guān)于幾何意義，可能找不到你能看懂的。先看看吧！說實在的，你這個問題本身就沒有意義。

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9樓2013-05-09 09:46:10

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變分是有意義的，變分現(xiàn)在接觸到的主要是凸泛函，就是變分的一種形式，偏微分方程中變分法源于極小位能原理，這是物理中的一個原理，詳細(xì)的說明可以參見相關(guān)的書籍

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10樓2013-05-09 09:54:06

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其實變分法求出的解一般不是原方程的古典解，只是一種弱解，但是在工程領(lǐng)域，沒有分的這么詳細(xì)，此時弱解就是古典解，所以一般用變分法求出的解與原方程的解等價

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11樓2013-05-09 09:56:04

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ghw_nit

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★
Quakerbird(金幣+1): 謝謝參與

從你的問題里面我知道了，我不懂變分，因為有人說怎樣判斷你懂了某個知識呢，就是你能不能把這個知識給不懂這個知識的人講清楚，如果能夠講清楚，就說明你真的懂了，從這個標(biāo)準(zhǔn)來看，對變分我是不懂的。

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13樓2013-05-09 10:39:03

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Quakerbird

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6樓: Originally posted by whyhow at 2013-05-09 07:29:40
看來不能通過技術(shù)流的方式讓你理解了.

變分法的內(nèi)容豐富, 可以算是微積分應(yīng)用的高端部分, 應(yīng)用非常廣泛, 特別是幾何問題.
建議你讀一本書<<慳慳宇宙>>, 是著名數(shù)學(xué)家寫的.
...

謝謝，以后有空找來看看。

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14樓2013-05-09 21:35:30

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12樓: Originally posted by lynzhung at 2013-05-09 09:59:00
變分原理簡單例子，比如我要求2x+1=0的解，那么我就去求y=x^2+x的最小值。如果我把y稱為能量的話，那么我們要求解的方程就是能量最小的點，稱為臨界點。
因為有hamilton作用原理，任何物理狀態(tài)都會停留在能量最小的 ...

這么說，變分涉及到物理、哲學(xué)方面的問題，不僅僅是一個簡單的幾何問題，但確實很費解。

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15樓2013-05-09 22:51:41

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人走茶不涼

銀蟲 (職業(yè)作家)

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★
小木蟲: 金幣+0.5, 給個紅包，謝謝回帖

光學(xué)微積分還有線性代數(shù)了，對后來的有限元、變分法都沒有學(xué)過，哎！

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16樓2013-05-10 08:37:08

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13樓: Originally posted by ghw_nit at 2013-05-09 10:39:03
從你的問題里面我知道了，我不懂變分，因為有人說怎樣判斷你懂了某個知識呢，就是你能不能把這個知識給不懂這個知識的人講清楚，如果能夠講清楚，就說明你真的懂了，從這個標(biāo)準(zhǔn)來看，對變分我是不懂的。

非常贊同你的標(biāo)準(zhǔn)！真希望你能夠讓我這種門外漢可以懂得變分！

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17樓2013-05-10 09:39:24

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flyxu5樓

2013-05-09 07:03 回復(fù)

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Elsivier7樓

2013-05-09 08:49 回復(fù)

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yumoym8樓

2013-05-09 09:42 回復(fù)

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