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shy1992331新蟲 (小有名氣)
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[交流]
高等代數(shù)中關于矩陣的一個等式 已有1人參與
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| X:n*p, L:q*p 滿足rank(M)-rank(X)=rank(L)以及rank(M)=p 其中M是一個組合矩陣,上面為X下面為L的一個(n+q)*p的矩陣(即:M'=(X' L'))證明:LAX'=0,其中A=(X'X+L'L)的逆 |
至尊木蟲 (著名寫手)
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考慮R^p的兩個子空間 Im(X') 與 Im(L'). 由于Im(X') + Im(L') = Im (W), 因此 Rank( Im(X')交Im(L') ) = Rank[ Im(X') ] + Rank[ Im(L') ] - Rank[ Im(X') + Im(L') ] =rank(X)+rank(L)-rank(W) =0. 對于任意u, 由于X'u 屬于R^p 且 (X'X+L'L) 可逆, 設 X'u= (X'X +L'L) y, 那么 L'L y = X' (u-Xy) =0 因為子空間交為零. 內(nèi)積 (Ly,Ly)=(L'Ly, y)=0, 即 Ly=0. 從而 內(nèi)積 (A X' u, L'w) = (y, L'w) = (Ly, w) =0, 對于任意 u, w. 因此 L A X' =0. |

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