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ghw_nit鐵桿木蟲(chóng) (正式寫(xiě)手)
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[求助]
怎樣證明直線與平面的夾角的最小值一定是垂直的那條線所成的角 已有2人參與
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| 如圖所示，怎樣證明這個(gè)問(wèn)題呢，看著是比較明顯的，怎樣用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言嚴(yán)密的說(shuō)明這一點(diǎn)呢？ |
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2013-12-30 09:55:59, 960.05 K
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2樓2013-12-30 13:17:09
peterflyer 
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peterflyer
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【答案】應(yīng)助回帖
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ghw_nit: 金幣+5, ★★★很有幫助, 如果是n維空間上呢，也類(lèi)似么？我還得消化一會(huì) 2013-12-30 19:27:42
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樓主的意思就是直線與平面中任何直線的夾角的最小值即為它與平面法線的夾角。 證明： 設(shè)P（x0,y0,z0)是直線L和平面π的交點(diǎn)，Q（ξ，η，ζ）為平面π上任一個(gè)不與P點(diǎn)重合的點(diǎn)，L的方向矢量為{p,q,r},平面π的法向矢量為｛l,m.n｝,則L與PQ直線的方向余弦Cosα為： Cosα=｛p*(ξ-x0)+q*(η-y0)+r*(ζ-z0)｝/ /{sqrt{p^2+q^2+r^2}*sqrt{[ξ-x0]^2+[η-y0]^2+[ζ-z0]^2}} 將Cosα對(duì)ξ、η、ζ分別求偏導(dǎo)數(shù)并令之為零，得到三個(gè)含ξ、η、ζ方程，解之即可得到使Cosα獲得極值的點(diǎn)的坐標(biāo)值R（ξ*，η*，ζ*）。再證明直線L與直線PR以及平面π的法線共面，也就是證明R（ξ*，η*，ζ*）在直線L與平面π的法線組成的平面上，問(wèn)題便可得到證明，而這在數(shù)學(xué)上已沒(méi)有困難了。 證明完畢。 |
3樓2013-12-30 14:57:47
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